Indique quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada, quais estão na forma escalonada reduzida por linha e quais não estão em nenhuma das formas. Justifique sua resposta.
\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para indicar se a matriz abaixo está em forma escalonada por linhas, em forma escalonada reduzida por linhas, ou em nenhuma das duas, e justificar a resposta.
A matriz dada é
\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz tem 3 linhas e 4 colunas.
  • As linhas são, em ordem: \begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & -1\end{array}, \begin{array}{cccc}0 & 2 & 1 & 0\end{array}, \begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 1\end{array}.
  • Não há linhas nulas (linha de todos zeros) nesta matriz.

Passo 2

Vou explicar o que significa estar em forma escalonada por linhas (row-echelon form) — passo a passo e com linguagem simples, para não deixar dúvidas.
Definição prática de forma escalonada por linhas:
  1. Toda linha que é completamente nula (se existir) aparece abaixo de qualquer linha não nula. (Aqui não temos linhas nulas, então essa condição não bloqueia nada.)
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de “pivô” ou “entrada principal” dessa linha) está mais à direita do que o pivô da linha acima. Em outras palavras, as posições dos pivôs formam uma progressão estritamente crescente quando descemos as linhas.
  3. Os pivôs podem ser quaisquer números não nulos (não precisam ser 1); não é exigido que as entradas acima ou abaixo do pivô sejam zero (essa exigência aparece só na forma reduzida).
Explicando “pivô” de forma concreta: numa linha como \begin{array}{cccc}0 & 2 & 1 & 0\end{array}, o pivô é o primeiro número diferente de zero, aqui 2, que está na coluna 2.

Passo 3

Vamos checar as condições da forma escalonada para a matriz dada.
Identificamos os pivôs de cada linha não nula:
  • Na linha 1, \begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & -1\end{array}, o pivô é 1 e está na coluna \,1.
  • Na linha 2, \begin{array}{cccc}0 & 2 & 1 & 0\end{array}, o pivô é 2 e está na coluna \,2.
  • Na linha 3, \begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 1\end{array}, o pivô é 1 e está na coluna \,4.
Verificamos a condição de avanço dos pivôs: as colunas dos pivôs são \,1, \,2 e \,4. Essas posições são estritamente crescentes ( 1 < 2 < 4), logo a condição (2) da definição é satisfeita.
Também não há linhas nulas acima de linhas não nulas, então a condição (1) está satisfeita.
Como os pivôs podem ser quaisquer números não nulos, o fato de um pivô ser 2 não impede a forma escalonada.
Conclusão parcial: a matriz satisfaz as condições da forma escalonada por linhas.

Passo 4

Agora explico o que é forma escalonada reduzida por linhas (reduced row-echelon form, RREF). É a forma escalonada por linhas com duas exigências extras:
Requisitos adicionais para ser reduzida:
4. Cada pivô deve ser 1. Ou seja, o primeiro elemento não nulo de cada linha é exatamente 1.
5. Cada pivô (que agora é 1) deve ser o único elemento não nulo na sua coluna: todas as outras entradas nessa coluna (acima e abaixo do pivô) devem ser 0.
Esses requisitos tornam a matriz “mais limpa”: cada coluna de pivô tem um único 1 e zeros no restante.

Passo 5

Checagem da forma reduzida na matriz dada.
Primeiro, condição (4): os pivôs identificados foram 1 na coluna \,1, 2 na coluna \,2 e 1 na coluna \,4. Observação: o pivô da segunda linha é 2, não 1. Portanto a condição "cada pivô = 1" falha já aqui — a matriz não está em forma escalonada reduzida.
Mesmo sem essa checagem, podemos verificar a condição (5): cada pivô deve ser o único não zero em sua coluna.
  • Na coluna \,1 o pivô é 1 e os outros elementos da coluna são 0, então a coluna \,1 está ok.
  • Na coluna \,2 o pivô é 2, e a entrada acima (linha 1, coluna 2) é 1, que é diferente de zero. Assim a coluna \,2 não tem apenas o pivô não nulo — há um elemento não nulo acima. Isso também impede a forma reduzida.
  • Na coluna \,4 o pivô é 1 (na linha 3), mas a entrada em (linha 1, coluna 4) é -1, não zero; então a coluna \,4 também não satisfaz a condição (5).
Portanto a matriz não satisfaz as condições necessárias para ser RREF.
Observação adicional (útil para a prova): com operações elementares simples dá para transformar essa matriz em RREF. Um caminho: escalar a linha 2 por 1/2 para tornar o pivô 1, usar essa linha para zerar a entrada acima na coluna 2, e usar a linha 3 para zerar a entrada acima na coluna 4. O fato de isso ser possível é normal — quase toda matriz escalonada pode ser transformada em reduzida fazendo operações de linha — mas a matriz original, do jeito que está, não é reduzida.

Passo 6

Resposta final consolidada, em linguagem direta e sem termos técnicos supérfluos:
  • A matriz está em forma escalonada por linhas porque as posições dos pivôs avançam estritamente para a direita ( \,1<2<4) e não há linhas nulas acima de linhas não nulas.
  • A matriz não está em forma escalonada reduzida por linhas porque o pivô da segunda linha é \,2 (não é 1) e há entradas não nulas nas colunas dos pivôs acima deles (por exemplo, a entrada \,1 em posição (1,2) e a entrada -1 em posição (1,4)), violando as condições da forma reduzida.

Resposta

A matriz está em forma escalonada por linhas.
A matriz não está em forma escalonada reduzida por linhas.

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