Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação gaussiana:
\left{ \begin{aligned} 2 x+2 y+2 z & =0 \\ -2 x-5 y+2 z & =1 \\ 8 x-y+4 z & =-1 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede a solução (x,y,z)\): \[\begin{cases} 2x+2y+2z=0,\\[4pt] -2x-5y+2z=1,\\[4pt] 8x-y+4z=-1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: são três equações lineares independentes (aparentemente) e precisamos encontrar os valores de x\], \(y e z que satisfazem todas simultaneamente. Neste problema vamos usar operações entre equações para eliminar incógnitas até achar os valores.]

Passo 2

Breve explicação do método que usamos (passo-a-passo didático):
  • Representamos o sistema como matriz aumentada (coeficientes + coluna dos termos independentes).
  • Usamos operações elementares sobre linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações mantêm o conjunto de soluções.
  • O objetivo é transformar a matriz numa forma triangular superior (eliminação de incógnitas abaixo dos pivôs) e depois resolver por substituição (back-substitution).
  • Vou mostrar cada operação e explicar por que a faço, e depois fazer a substituição para obter x,y,z.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação; as colunas são coeficientes de x,y,z e o termo à direita):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 2 & 0\\[4pt] -2 & -5 & 2 & 1\\[4pt] 8 & -1 & 4 & -1 \end{array}\right]
Nessa matriz, por exemplo, a primeira linha [2\\\ 2\\\ 2\mid 0] representa a equação 2x+2y+2z=0.]

Passo 4

Eliminação da primeira coluna (fazer zeros nas posições abaixo do pivô da primeira linha).
  • Pivô escolhido: elemento \,2 na posição (1,1) (primeira linha, primeira coluna).
  • Queremos zerar as entradas nas linhas 2 e 3 na coluna 1.
Operação para linha 2: substituir L_2\leftarrow L_2+L_1. Cálculo elemento a elemento:
L_2: (-2)+2=0,\quad (-5)+2=-3,\quad 2+2=4,\quad 1+0=1.
Logo a nova linha 2 é [0\\\ -3\\\ 4\mid 1].
Operação para linha 3: substituir L_3\leftarrow L_3-4L_1 (porque 8-4\cdot2=0). Cálculo:
L_3: 8-4\cdot2=0,\quad -1-4\cdot2=-1-8=-9,\quad 4-4\cdot2=4-8=-4,\quad -1-4\cdot0=-1.
Logo a nova linha 3 é [0\\\ -9\\\ -4\mid -1].
A matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 4 & 1\\[4pt] 0 & -9 & -4 & -1 \end{array}\right]]

Passo 5

Eliminação da segunda coluna (zerar a entrada abaixo do pivô da segunda linha).
  • Pivô na segunda linha: -3 na posição (2,2).
  • Queremos zerar o -9 na posição (3,2). Observamos que -9 = 3\cdot(-3), então fazemos L_3\leftarrow L_3-3L_2.
Cálculo linha 3:
\begin{aligned} &0-3\cdot0=0,\\\ &-9-3\cdot(-3)=-9+9=0,\\\ &-4-3\cdot4=-4-12=-16,\\\ &-1-3\cdot1=-1-3=-4. \end{aligned}
Assim a nova linha 3 é [0\\\ 0\\\ -16\mid -4].
A matriz em forma triangular (escalonada) fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -16 & -4 \end{array}\right]]

Passo 6

Resolver por substituição (back-substitution) a partir da última linha.
Da terceira linha temos:
-16z=-4.
Isolando z:
z=\frac{-4}{-16}=\frac{1}{4}.
Agora usar a segunda linha para achar y. A segunda linha é
-3y+4z=1.
Substituindo z=\dfrac{1}{4}:
-3y+4\cdot\frac{1}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad -3y+1=1.
Então
-3y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Finalmente, usar a primeira linha para achar x. A primeira linha é
2x+2y+2z=0.
Substituindo y=0 e z=\dfrac{1}{4}:
2x+2\cdot0+2\cdot\frac{1}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+\frac{1}{2}=0.
Logo
2x=-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{1}{4}.

Passo 7

Verificação rápida (substituir na primeira e segunda equações para checar consistência):
  • Primeira: 2x+2y+2z=2(-\tfrac{1}{4})+2(0)+2(\tfrac{1}{4})=-\tfrac{1}{2}+0+\tfrac{1}{2}=0 OK.
  • Segunda: -2x-5y+2z=-2(-\tfrac{1}{4})-5(0)+2(\tfrac{1}{4})=\tfrac{1}{2}+ \tfrac{1}{2}=1 OK.
  • Terceira: 8x-y+4z=8(-\tfrac{1}{4})-0+4(\tfrac{1}{4})=-2+1=-1 OK.
Tudo confere, solução correta.

Resposta

x=-\dfrac{1}{4} \
y=0 \
z=\dfrac{1}{4}

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