Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação gaussiana:
\left{\begin{aligned} 2 x+2 y+2 z & =0 \\ -2 x-5 y+2 z & =1 \\ 8 x-y+4 z & =-1 \end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede a solução (x,y,z)\):
\[\begin{cases} 2x+2y+2z=0,\\[4pt] -2x-5y+2z=1,\\[4pt] 8x-y+4z=-1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: são três equações lineares independentes (aparentemente) e precisamos encontrar os valores de x\], \(y e z que satisfazem todas simultaneamente. Neste problema vamos usar operações entre equações para eliminar incógnitas até achar os valores.]
Passo 2
Breve explicação do método que usamos (passo-a-passo didático):
Representamos o sistema como matriz aumentada (coeficientes + coluna dos termos independentes).
Usamos operações elementares sobre linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações mantêm o conjunto de soluções.
O objetivo é transformar a matriz numa forma triangular superior (eliminação de incógnitas abaixo dos pivôs) e depois resolver por substituição (back-substitution).
Vou mostrar cada operação e explicar por que a faço, e depois fazer a substituição para obter x,y,z.
Passo 3
Escrevendo a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação; as colunas são coeficientes de x,y,z e o termo à direita):