Indique quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada, quais estão na forma escalonada reduzida por linha e quais não estão em nenhuma das formas. Justifique sua resposta.
(g)\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu indique se a matriz (g) está (a) na forma escalonada por linhas, (b) na forma escalonada reduzida por linhas, ou (c) em nenhuma das duas, e que eu justifique a resposta. A matriz dada é
(g)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas: as entradas de cada linha e coluna da matriz conforme escrito acima; não há linhas nulas nesta matriz.

Passo 2

Vou lembrar (explicar) com clareza e de forma bem simples o que significa cada forma, porque isso é o que vamos usar para verificar a matriz.
Definição de forma escalonada por linhas (REF):
  • Toda linha formada só por zeros, se houver, aparece abaixo de toda linha não-nula.
  • O primeiro elemento não nulo de cada linha não-nula (chamado de pivot ou leading entry) está à direita do pivot da linha acima. Ou seja, os pivôs deslocam-se para a direita ao descer as linhas.
  • As entradas abaixo de cada pivot são zeros (não exigimos zeros acima do pivot nem que os pivôs sejam 1).
Definição de forma escalonada reduzida por linhas (RREF):
  • Primeiro, a matriz está em forma escalonada por linhas.
  • Além disso, cada pivot é igual a 1.
  • Em cada coluna de um pivot, esse 1 é o único elemento não nulo da coluna (ou seja, há zeros tanto acima quanto abaixo do pivot).
Essas definições são exatamente o que você deve checar na hora da prova: posições dos pivôs, zeros abaixo deles para REF, e zeros também acima e pivôs igual a 1 para RREF.

Passo 3

Vamos encontrar os pivôs (os primeiros elementos não nulos) de cada linha da matriz dada. Olhando a matriz linha a linha:
Linha 1: \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & 0 & 1\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 1. Então o pivot da linha 1 está na coluna 1.
Linha 2: \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 2. Pivot da linha 2 na coluna 2.
Linha 3: \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 4\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 4. Pivot da linha 3 na coluna 4.
Portanto os pivôs aparecem, respectivamente, nas colunas 1, 2 e 4.

Passo 4

Verifico agora cada condição da forma escalonada por linhas usando os pivôs que identifiquei.
  1. Linhas nulas abaixo de linhas não-nulas: não há linhas nulas na matriz, logo essa condição está satisfeita.
  2. Pivôs deslocam-se para a direita ao descer as linhas: os índices das colunas dos pivôs são 1, 2 e 4, que formam uma sequência estritamente crescente. Logo, o pivot da linha 2 (coluna 2) está à direita do pivot da linha 1 (coluna 1), e o pivot da linha 3 (coluna 4) está à direita do pivot da linha 2 (coluna 2). Essa condição está satisfeita.
  3. Entradas abaixo de cada pivot são zeros: vamos checar coluna a coluna.
  • Pivot em coluna 1 (linha 1): entradas abaixo são (0,0) nas linhas 2 e 3 — são zeros.
  • Pivot em coluna 2 (linha 2): entrada abaixo (linha 3, coluna 2) é 0 — zero.
  • Pivot em coluna 4 (linha 3): não há linhas abaixo da linha 3, então a condição é automaticamente satisfeita.
Como todas as três condições de REF estão satisfeitas, concluo que a matriz está em forma escalonada por linhas.

Passo 5

Agora verifico as condições adicionais necessárias para ser forma escalonada reduzida por linhas (RREF).
Relembrando: além de estar em REF, para ser RREF cada pivot deve ser 1 e deve ser o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivot).
Já observamos que todos os pivôs que encontramos valem 1 (linha 1 coluna 1 é 1; linha 2 coluna 2 é 1; linha 3 coluna 4 é 1). Agora faltam os zeros acima dos pivôs.

Passo 6

Checagem dos zeros em cada coluna de pivô:
  • Coluna 1 (pivot em linha 1): a coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Os elementos acima do pivot não existem (pivot está na primeira linha) e abaixo são zeros. Portanto, na coluna do pivot há zeros em todas as outras posições; o pivot é o único elemento não nulo nessa coluna.
  • Coluna 2 (pivot em linha 2): a coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Acima do pivot (linha 1, coluna 2) temos 0; abaixo (linha 3, coluna 2) temos 0. Logo, o pivot é o único não nulo nessa coluna.
  • Coluna 4 (pivot em linha 3): a coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. Acima do pivot as entradas são 0 e 0, logo o pivot é o único não nulo nessa coluna.
Portanto, cada pivot é 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna. Assim, a matriz satisfaz todas as condições de RREF.

Passo 7

Conclusão lógica: se uma matriz está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF), então ela também está em forma escalonada por linhas (REF) — RREF é uma forma mais restrita. Aqui mostramos que a matriz satisfaz todas as condições de RREF, então ela está simultaneamente em RREF e, consequentemente, em REF.
Você pode usar este mesmo procedimento na prova: identificar pivôs linha a linha, checar deslocamento para a direita e zeros abaixo para REF; depois verificar pivôs iguais a 1 e zeros também acima para RREF.

Resposta

A matriz (g) está em forma escalonada por linhas (REF) e também em forma escalonada reduzida por linhas (RREF).

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