Indique quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada, quais estão na forma escalonada reduzida por linha e quais não estão em nenhuma das formas. Justifique sua resposta. (g)\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede que eu indique se a matriz (g) está (a) na forma escalonada por linhas, (b) na forma escalonada reduzida por linhas, ou (c) em nenhuma das duas, e que eu justifique a resposta. A matriz dada é
Informações relevantes fornecidas: as entradas de cada linha e coluna da matriz conforme escrito acima; não há linhas nulas nesta matriz.
Passo 2
Vou lembrar (explicar) com clareza e de forma bem simples o que significa cada forma, porque isso é o que vamos usar para verificar a matriz.
Definição de forma escalonada por linhas (REF):
Toda linha formada só por zeros, se houver, aparece abaixo de toda linha não-nula.
O primeiro elemento não nulo de cada linha não-nula (chamado de pivot ou leading entry) está à direita do pivot da linha acima. Ou seja, os pivôs deslocam-se para a direita ao descer as linhas.
As entradas abaixo de cada pivot são zeros (não exigimos zeros acima do pivot nem que os pivôs sejam 1).
Definição de forma escalonada reduzida por linhas (RREF):
Primeiro, a matriz está em forma escalonada por linhas.
Além disso, cada pivot é igual a 1.
Em cada coluna de um pivot, esse 1 é o único elemento não nulo da coluna (ou seja, há zeros tanto acima quanto abaixo do pivot).
Essas definições são exatamente o que você deve checar na hora da prova: posições dos pivôs, zeros abaixo deles para REF, e zeros também acima e pivôs igual a 1 para RREF.
Passo 3
Vamos encontrar os pivôs (os primeiros elementos não nulos) de cada linha da matriz dada. Olhando a matriz linha a linha:
Linha 1: \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & 0 & 1\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 1. Então o pivot da linha 1 está na coluna 1.
Linha 2: \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 2. Pivot da linha 2 na coluna 2.
Linha 3: \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 4\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 4. Pivot da linha 3 na coluna 4.
Portanto os pivôs aparecem, respectivamente, nas colunas 1, 2 e 4.
Passo 4
Verifico agora cada condição da forma escalonada por linhas usando os pivôs que identifiquei.
Linhas nulas abaixo de linhas não-nulas: não há linhas nulas na matriz, logo essa condição está satisfeita.
Pivôs deslocam-se para a direita ao descer as linhas: os índices das colunas dos pivôs são 1, 2 e 4, que formam uma sequência estritamente crescente. Logo, o pivot da linha 2 (coluna 2) está à direita do pivot da linha 1 (coluna 1), e o pivot da linha 3 (coluna 4) está à direita do pivot da linha 2 (coluna 2). Essa condição está satisfeita.
Entradas abaixo de cada pivot são zeros: vamos checar coluna a coluna.
Pivot em coluna 1 (linha 1): entradas abaixo são (0,0) nas linhas 2 e 3 — são zeros.
Pivot em coluna 2 (linha 2): entrada abaixo (linha 3, coluna 2) é 0 — zero.
Pivot em coluna 4 (linha 3): não há linhas abaixo da linha 3, então a condição é automaticamente satisfeita.
Como todas as três condições de REF estão satisfeitas, concluo que a matriz está em forma escalonada por linhas.
Passo 5
Agora verifico as condições adicionais necessárias para ser forma escalonada reduzida por linhas (RREF).
Relembrando: além de estar em REF, para ser RREF cada pivot deve ser 1 e deve ser o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivot).
Já observamos que todos os pivôs que encontramos valem 1 (linha 1 coluna 1 é 1; linha 2 coluna 2 é 1; linha 3 coluna 4 é 1). Agora faltam os zeros acima dos pivôs.
Passo 6
Checagem dos zeros em cada coluna de pivô:
Coluna 1 (pivot em linha 1): a coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Os elementos acima do pivot não existem (pivot está na primeira linha) e abaixo são zeros. Portanto, na coluna do pivot há zeros em todas as outras posições; o pivot é o único elemento não nulo nessa coluna.
Coluna 2 (pivot em linha 2): a coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Acima do pivot (linha 1, coluna 2) temos 0; abaixo (linha 3, coluna 2) temos 0. Logo, o pivot é o único não nulo nessa coluna.
Coluna 4 (pivot em linha 3): a coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. Acima do pivot as entradas são 0 e 0, logo o pivot é o único não nulo nessa coluna.
Portanto, cada pivot é 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna. Assim, a matriz satisfaz todas as condições de RREF.
Passo 7
Conclusão lógica: se uma matriz está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF), então ela também está em forma escalonada por linhas (REF) — RREF é uma forma mais restrita. Aqui mostramos que a matriz satisfaz todas as condições de RREF, então ela está simultaneamente em RREF e, consequentemente, em REF.
Você pode usar este mesmo procedimento na prova: identificar pivôs linha a linha, checar deslocamento para a direita e zeros abaixo para REF; depois verificar pivôs iguais a 1 e zeros também acima para RREF.
Resposta
A matriz (g) está em forma escalonada por linhas (REF) e também em forma escalonada reduzida por linhas (RREF).