Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação gaussiana:
\left{ \begin{aligned} x-2 y+3 z=1 \\ 3 x+6 y-3 z=-2 \\ 6 x+6 y+3 z=5 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear e pede para encontrar os valores de x\), \(y\) e \(z\): \[\begin{cases} x-2y+3z=1\\[4pt] 3x+6y-3z=-2\\[4pt] 6x+6y+3z=5 \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Temos três equações lineares com três incógnitas x\], \(y, z.
  • Queremos uma solução (x,y,z) que satisfaça todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema para aplicar eliminação:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1\\[4pt] 3 & 6 & -3 & -2\\[4pt] 6 & 6 & 3 & 5 \end{array}\right]
Aqui cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo independente.]

Passo 3

Explico rapidamente as operações que podemos usar (operações elementares de linha):
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    O objetivo é obter uma matriz triangular superior (zeros abaixo dos pivôs) para depois fazer substituição regressiva.

Passo 4

Usamos R_1 como pivô na coluna 1 (o coeficiente é 1). Eliminamos os elementos abaixo dele:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - 6R_1
Faço as contas linha a linha:
Para R_2:
\begin{aligned} 3-3\cdot1 &= 0,\\\\ 6-3\cdot(-2) &= 6+6=12,\\\\ -3-3\cdot3 &= -3-9=-12,\\\\ -2-3\cdot1 &= -2-3=-5. \end{aligned}
Para R_3:
\begin{aligned} 6-6\cdot1 &= 0,\\\\ 6-6\cdot(-2) &= 6+12=18,\\\\ 3-6\cdot3 &= 3-18=-15,\\\\ 5-6\cdot1 &= 5-6=-1. \end{aligned}
A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 12 & -12 & -5\\[4pt] 0 & 18 & -15 & -1 \end{array}\right]]

Passo 5

Para simplificar, vamos normalizar R_2 dividindo por 12:
R_2 \leftarrow \frac{1}{12}R_2 \implies R_2 = [0\; 1\; -1\; |\; -\tfrac{5}{12}].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{5}{12}\\[4pt] 0 & 18 & -15 & -1 \end{array}\right]]

Passo 6

Eliminamos o elemento 18 em R_3 usando R_2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 18R_2.
Calculo:
\begin{aligned} \text{coluna 2: } & 18 - 18\cdot1 = 0,\\\ \text{coluna 3: } & -15 - 18\cdot(-1) = -15 +18 = 3,\\\ \text{termo indep.: } & -1 - 18\cdot\!\left(-\tfrac{5}{12}\right) = -1 + \tfrac{90}{12} = -1 + \tfrac{15}{2} = \tfrac{13}{2}. \end{aligned}
Então R_3 = [0\;0\;3\;|\;\tfrac{13}{2}]. A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{5}{12}\\[4pt] 0 & 0 & 3 & \tfrac{13}{2} \end{array}\right]]

Passo 7

Agora já temos forma triangular superior. Extraímos a última equação (da terceira linha) para encontrar z:
3z = \tfrac{13}{2} \quad\Rightarrow\quad z = \frac{13}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{13}{6}.
Expliquei: dividimos ambos os lados por 3 para isolar z.

Passo 8

Substituímos z na segunda linha (equação correspondente a R_2):
y - z = -\tfrac{5}{12} \quad\Rightarrow\quad y = z - \tfrac{5}{12}.
Substituindo z=\tfrac{13}{6}:
y = \frac{13}{6} - \frac{5}{12} = \frac{26}{12} - \frac{5}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}.
Mostrei o passo de colocar com denominador comum 12 para facilitar a subtração de frações.

Passo 9

Finalmente, substituímos y e z na primeira equação para obter x:
A primeira equação é x - 2y + 3z = 1.
Calculo dos termos:
-2y = -2\cdot\frac{7}{4} = -\frac{7}{2},\qquad 3z = 3\cdot\frac{13}{6} = \frac{13}{2}.
Então
x + \left(-\tfrac{7}{2}\right) + \tfrac{13}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad x + \tfrac{6}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad x + 3 = 1.
Portanto x = 1-3 = -2.

Resposta

x=-2
y=\dfrac{7}{4}
z=\dfrac{13}{6}

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