Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
( ) Se A é uma matriz de ordem 10 \times 20 e B uma matriz de ordem 20 \times 50, então A B tem ordem 10 \times 50.
( ) Se A é uma matriz diagonal e idempotente (isto é, A^{2}=A ), então A=I_{2} ou A=\mathbf{0}_{2}.
( ) Para quaisquer matrizes A e B, de ordem n, vale a relação (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}.
( ) O traço de uma matriz coincide com o traço da sua transposta.
( ) Existem sistemas lineares homogêneos (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) sem solução.
( ) O sistema linear \left\{\begin{array}{l}2 x+4 y=7 \\\\ 3 x-6 y=21\end{array}\right. é possível determinado.
( ) Se a primeira linha da matriz A é igual ao dobro da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \operatorname{det}(A)=2 \operatorname{det}(B).
( ) Se \operatorname{det}(X) \neq 0, então X admite uma inversa.
( ) \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B).
( ) Se A é invertível, então \left(A^{-1}\right)^{t}=\left(A^{t}\right)^{-1}.
Passo 1
O enunciado pede que eu indique se cada uma das 10 sentenças é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F). Vou listar claramente as 10 sentenças na ordem em que aparecem, sem resolver ainda, para ficar claro o que se pergunta:
(1) Se [A) é uma matriz de ordem 10\times20 e B uma matriz de ordem 20\times50, então AB tem ordem 10\times50.
(2) Se A é uma matriz diagonal e idempotente (isto é, A^{2}=A ), então A=I_{2} ou A=\mathbf{0}_{2}.
(3) Para quaisquer matrizes A e B, de ordem n, vale a relação (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.
(4) O traço de uma matriz coincide com o traço da sua transposta.
(5) Existem sistemas lineares homogêneos (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) sem solução.
(6) O sistema linear (\begin{cases}2x+4y=7\\[4pt]3x-6y=21\end{cases}] é possível determinado.
(7) Se a primeira linha da matriz A é igual ao dobro da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \det(A)=2\det(B).
(8) Se \det(X)\neq 0, então X admite uma inversa.
(9) \det(A+B)=\det(A)+\det(B).
(10) Se A é invertível, então \left(A^{-1}\right)^{t}=\left(A^{t}\right)^{-1}.]
Passo 2
Sentença (1). Regra de dimensões na multiplicação de matrizes:
Para multiplicar matrizes A e B é preciso que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B.
Se A tem ordem m\times p e B tem ordem p\times n, então AB existe e tem ordem m\times n.
Aqui A é 10\times20 e B é 20\times50. Então o produto existe e tem ordem 10\times50. Portanto a sentença (1) é VERDADEIRA. Exemplo simples: A2\times3 e B3\times4 dá AB de ordem 2\times4 — mesma ideia.
Passo 3
Sentença (2). Definições e análise:
Uma matriz diagonal A tem elementos fora da diagonal iguais a zero; para 2\times2 escrevemos A=\begin{pmatrix}d_{1}&0\\[4pt]0&d_{2}\end{pmatrix}.
Idempotente significa A^{2}=A. Para uma diagonal, o quadrado é obtido elevando cada diagonal: A^{2}=\begin{pmatrix}d_{1}^{2}&0\\[4pt]0&d_{2}^{2}\end{pmatrix}.
A condição A^{2}=A dá as equações d_{1}^{2}=d_{1} e d_{2}^{2}=d_{2}. Cada equação tem soluções d_{i}\in\{0,1\}.
Logo as entradas diagonais são cada uma 0 ou 1. Existem matrizes diagonais idempotentes diferentes de I_{2} e de \mathbf{0}_{2}, por exemplo
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},
que satisfaz A^{2}=A mas não é I_{2} nem \mathbf{0}_{2}. Portanto a sentença (2) é FALSA.]
Passo 4
Sentença (3). Expansão algébrica e não comutatividade:
Por definição (A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=A^{2}+AB+BA+B^{2}.
Para que isso se torne A^{2}+2AB+B^{2} seria necessário que AB=BA, isto é, que A e B comutem.
Em geral matrizes não comutam, então a fórmula com 2AB não vale sempre.
Contraexemplo explícito para mostrar falsidade: escolha
O traço de uma matriz A, \operatorname{tr}(A), é a soma dos elementos da diagonal principal: \operatorname{tr}(A)=\sum_{i} a_{ii}.
A transposta A^{t} troca linhas por colunas, mas os elementos da diagonal permanecem os mesmos: (A^{t})_{ii}=A_{ii}.
Logo \operatorname{tr}(A^{t})=\sum_{i}(A^{t})_{ii}=\sum_{i}A_{ii}=\operatorname{tr}(A). Portanto a sentença (4) é VERDADEIRA.
Passo 6
Sentença (5). Sistemas homogêneos:
Um sistema linear homogêneo tem forma A x=\mathbf{0}.
Sempre x=\mathbf{0} (o vetor nulo) satisfaz A\mathbf{0}=\mathbf{0}. Logo todo sistema homogêneo tem pelo menos uma solução (a solução trivial).
Pode ter soluções não triviais (infinitas) quando \det(A)=0 (no caso quadrado) ou quando o posto é menor que o número de incógnitas, mas nunca fica sem solução.
Portanto a afirmação de que existem sistemas homogêneos sem solução é FALSA.
Passo 7
Sentença (6). Análise do sistema dado:
O sistema é
Como o determinante da matriz de coeficientes é diferente de zero, o sistema tem solução única (sistema possível determinado). Se quiser ver a solução, por substituição: da primeira x=(7-4y)/2. Substituindo na segunda e resolvendo obtém-se uma única solução \bigl(x=\tfrac{21}{4},\,y=-\tfrac{7}{8}\bigr) (mas o que importa para a questão é que há exatamente uma solução). Portanto a sentença (6) é VERDADEIRA.]
Passo 8
Sentença (7). Propriedade do determinante sob multiplicação de linha:
Uma propriedade básica do determinante: multiplicar uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar c multiplica o determinante por c.
No enunciado, a primeira linha de A é o dobro da primeira linha de B e as demais linhas coincidem. Isso é exatamente o caso de multiplicar a primeira linha de B por 2, então \det(A)=2\det(B).
Portanto a sentença (7) é VERDADEIRA. (Exemplo numérico rápido: B=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} tem \det(B)=1. Se A tiver primeira linha dobrada A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}, então \det(A)=2.)]
Passo 9
Sentença (8). Determinante não nulo implica inversibilidade:
Para matrizes quadradas X, há o teorema: \det(X)\neq 0 se e somente se X é invertível.
Uma demonstração construtiva: X^{-1}=\dfrac{1}{\det(X)}\operatorname{adj}(X), onde \operatorname{adj}(X) é a adjunta (transposta da matriz dos cofatores). Isso exige que \det(X)\neq0 para dividir por ele.
Observação: a noção de \det só faz sentido para matrizes quadradas; presumindo isso, a afirmação é correta.
Portanto a sentença (8) é VERDADEIRA.
Passo 10
Sentença (9). Determinante da soma:
Em geral o determinante não é uma função linear; não vale \det(A+B)=\det(A)+\det(B) para matrizes de dimensão maior que 1.
Contraexemplo simples: tome A=I_{2} e B=I_{2}. Então A+B=2I_{2}. Para 2\times2,
Isto mostra que (A^{-1})^{t} é a inversa à esquerda de A^{t}. Fazendo o mesmo com A^{-1}A=I obtém-se A^{t}(A^{-1})^{t}=I, então (A^{-1})^{t} também é a inversa à direita de A^{t}. Em matrizes quadradas isso implica