1. Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
    ( ) Se A é uma matriz de ordem 10 \times 20 e B uma matriz de ordem 20 \times 50, então A B tem ordem 10 \times 50.
    ( ) Se A é uma matriz diagonal e idempotente (isto é, A^{2}=A ), então A=I_{2} ou A=\mathbf{0}_{2}.
    ( ) Para quaisquer matrizes A e B, de ordem n, vale a relação (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}.
    ( ) O traço de uma matriz coincide com o traço da sua transposta.
    ( ) Existem sistemas lineares homogêneos (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) sem solução.
    ( ) O sistema linear \left\{\begin{array}{l}2 x+4 y=7 \\\\ 3 x-6 y=21\end{array}\right. é possível determinado.
    ( ) Se a primeira linha da matriz A é igual ao dobro da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \operatorname{det}(A)=2 \operatorname{det}(B).
    ( ) Se \operatorname{det}(X) \neq 0, então X admite uma inversa.
    ( ) \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B).
    ( ) Se A é invertível, então \left(A^{-1}\right)^{t}=\left(A^{t}\right)^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede que eu indique se cada uma das 10 sentenças é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F). Vou listar claramente as 10 sentenças na ordem em que aparecem, sem resolver ainda, para ficar claro o que se pergunta:
(1) Se [A) é uma matriz de ordem 10\times20 e B uma matriz de ordem 20\times50, então AB tem ordem 10\times50.
(2) Se A é uma matriz diagonal e idempotente (isto é, A^{2}=A ), então A=I_{2} ou A=\mathbf{0}_{2}.
(3) Para quaisquer matrizes A e B, de ordem n, vale a relação (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.
(4) O traço de uma matriz coincide com o traço da sua transposta.
(5) Existem sistemas lineares homogêneos (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) sem solução.
(6) O sistema linear ( \begin{cases}2x+4y=7\\[4pt]3x-6y=21\end{cases}] é possível determinado.
(7) Se a primeira linha da matriz A é igual ao dobro da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \det(A)=2\det(B).
(8) Se \det(X)\neq 0, então X admite uma inversa.
(9) \det(A+B)=\det(A)+\det(B).
(10) Se A é invertível, então \left(A^{-1}\right)^{t}=\left(A^{t}\right)^{-1}.]

Passo 2

Sentença (1). Regra de dimensões na multiplicação de matrizes:
  • Para multiplicar matrizes A e B é preciso que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B.
  • Se A tem ordem m\times p e B tem ordem p\times n, então AB existe e tem ordem m\times n.
Aqui A é 10\times20 e B é 20\times50. Então o produto existe e tem ordem 10\times50. Portanto a sentença (1) é VERDADEIRA. Exemplo simples: A 2\times3 e B 3\times4 AB de ordem 2\times4 — mesma ideia.

Passo 3

Sentença (2). Definições e análise:
  • Uma matriz diagonal A tem elementos fora da diagonal iguais a zero; para 2\times2 escrevemos A=\begin{pmatrix}d_{1}&0\\[4pt]0&d_{2}\end{pmatrix}.
  • Idempotente significa A^{2}=A. Para uma diagonal, o quadrado é obtido elevando cada diagonal: A^{2}=\begin{pmatrix}d_{1}^{2}&0\\[4pt]0&d_{2}^{2}\end{pmatrix}.
  • A condição A^{2}=A dá as equações d_{1}^{2}=d_{1} e d_{2}^{2}=d_{2}. Cada equação tem soluções d_{i}\in\{0,1\}.
Logo as entradas diagonais são cada uma 0 ou 1. Existem matrizes diagonais idempotentes diferentes de I_{2} e de \mathbf{0}_{2}, por exemplo
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},
que satisfaz A^{2}=A mas não é I_{2} nem \mathbf{0}_{2}. Portanto a sentença (2) é FALSA.]

Passo 4

Sentença (3). Expansão algébrica e não comutatividade:
  • Por definição (A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=A^{2}+AB+BA+B^{2}.
  • Para que isso se torne A^{2}+2AB+B^{2} seria necessário que AB=BA, isto é, que A e B comutem.
  • Em geral matrizes não comutam, então a fórmula com 2AB não vale sempre.
Contraexemplo explícito para mostrar falsidade: escolha
A=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Calcula-se A^{2}=0, B^{2}=0, AB=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}, BA=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}. Assim
(A+B)^{2}=AB+BA=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\neq 2AB=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Portanto a sentença (3) é FALSA.]

Passo 5

Sentença (4). Definição de traço e propriedade:
  • O traço de uma matriz A, \operatorname{tr}(A), é a soma dos elementos da diagonal principal: \operatorname{tr}(A)=\sum_{i} a_{ii}.
  • A transposta A^{t} troca linhas por colunas, mas os elementos da diagonal permanecem os mesmos: (A^{t})_{ii}=A_{ii}.
    Logo \operatorname{tr}(A^{t})=\sum_{i}(A^{t})_{ii}=\sum_{i}A_{ii}=\operatorname{tr}(A). Portanto a sentença (4) é VERDADEIRA.

Passo 6

Sentença (5). Sistemas homogêneos:
  • Um sistema linear homogêneo tem forma A x=\mathbf{0}.
  • Sempre x=\mathbf{0} (o vetor nulo) satisfaz A\mathbf{0}=\mathbf{0}. Logo todo sistema homogêneo tem pelo menos uma solução (a solução trivial).
  • Pode ter soluções não triviais (infinitas) quando \det(A)=0 (no caso quadrado) ou quando o posto é menor que o número de incógnitas, mas nunca fica sem solução.
Portanto a afirmação de que existem sistemas homogêneos sem solução é FALSA.

Passo 7

Sentença (6). Análise do sistema dado:
O sistema é
\begin{cases} 2x+4y=7,\\[4pt] 3x-6y=21. \end{cases}
Formamos a matriz dos coeficientes C=\begin{pmatrix}2&4\\[4pt]3&-6\end{pmatrix}. Calculemos seu determinante:
\det\text{(C)}=2\cdot(-6)-4\cdot3=-12-12=-24\neq 0.
Como o determinante da matriz de coeficientes é diferente de zero, o sistema tem solução única (sistema possível determinado). Se quiser ver a solução, por substituição: da primeira x=(7-4y)/2. Substituindo na segunda e resolvendo obtém-se uma única solução \bigl(x=\tfrac{21}{4},\,y=-\tfrac{7}{8}\bigr) (mas o que importa para a questão é que há exatamente uma solução). Portanto a sentença (6) é VERDADEIRA.]

Passo 8

Sentença (7). Propriedade do determinante sob multiplicação de linha:
  • Uma propriedade básica do determinante: multiplicar uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar c multiplica o determinante por c.
  • No enunciado, a primeira linha de A é o dobro da primeira linha de B e as demais linhas coincidem. Isso é exatamente o caso de multiplicar a primeira linha de B por 2, então \det(A)=2\det(B).
Portanto a sentença (7) é VERDADEIRA. (Exemplo numérico rápido: B=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} tem \det(B)=1. Se A tiver primeira linha dobrada A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}, então \det(A)=2.)]

Passo 9

Sentença (8). Determinante não nulo implica inversibilidade:
  • Para matrizes quadradas X, há o teorema: \det(X)\neq 0 se e somente se X é invertível.
  • Uma demonstração construtiva: X^{-1}=\dfrac{1}{\det(X)}\operatorname{adj}(X), onde \operatorname{adj}(X) é a adjunta (transposta da matriz dos cofatores). Isso exige que \det(X)\neq0 para dividir por ele.
  • Observação: a noção de \det só faz sentido para matrizes quadradas; presumindo isso, a afirmação é correta.
Portanto a sentença (8) é VERDADEIRA.

Passo 10

Sentença (9). Determinante da soma:
  • Em geral o determinante não é uma função linear; não vale \det(A+B)=\det(A)+\det(B) para matrizes de dimensão maior que 1.
  • Contraexemplo simples: tome A=I_{2} e B=I_{2}. Então A+B=2I_{2}. Para 2\times2,
\det(A+B)=\det(2I_{2})=2^{2}\det(I_{2})=4, \qquad \det(A)+\det(B)=1+1=2,
logo 4\neq 2. Portanto a sentença (9) é FALSA.

Passo 11

Sentença (10). Relação entre inversa e transposta:
  • Comece de AA^{-1}=I. Transpondo ambos os lados:
(AA^{-1})^{t}=I^{t}\quad\Rightarrow\quad (A^{-1})^{t}A^{t}=I.
Isto mostra que (A^{-1})^{t} é a inversa à esquerda de A^{t}. Fazendo o mesmo com A^{-1}A=I obtém-se A^{t}(A^{-1})^{t}=I, então (A^{-1})^{t} também é a inversa à direita de A^{t}. Em matrizes quadradas isso implica
\left(A^{-1}\right)^{t}=\left(A^{t}\right)^{-1}.
Portanto a sentença (10) é VERDADEIRA.

Resposta

(V)
(F)
(F)
(V)
(F)
(V)
(V)
(V)
(F)
(V)

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