Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
( ) Se A é uma matriz de ordem 10 \times 20 e B uma matriz de ordem 20 \times 50, então A B tem ordem 10 \times 50.
( ) Se A é uma matriz diagonal e idempotente (isto é, A^{2}=A ), então A=I_{2} ou A=\mathbf{0}_{2}.
( ) Para quaisquer matrizes A e B, de ordem n, vale a relação (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}.
( ) O traço de uma matriz coincide com o traço da sua transposta.
( ) Existem sistemas lineares homogêneos (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) sem solução.
( ) O sistema linear \left\{\begin{array}{l}2 x+4 y=7 \\\\ 3 x-6 y=21\end{array}\right. é possível determinado.
( ) Se a primeira linha da matriz A é igual ao dobro da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \operatorname{det}(A)=2 \operatorname{det}(B).
( ) Se \operatorname{det}(X) \neq 0, então X admite uma inversa.
( ) \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B).
( ) Se A é invertível, então \left(A^{-1}\right)^{t}=\left(A^{t}\right)^{-1}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos pede: são dez sentenças (cada uma precisa ser marcada como VERDADEIRA ou FALSA). As sentenças são:
( ) Se A é uma matriz de ordem 10\times20 e B uma matriz de ordem 20\times50, então AB tem ordem 10\times50.
( ) Se A é uma matriz diagonal e idempotente (isto é, A^{2}=A ), então A=I_{2} ou A=\mathbf{0}_{2}.
( ) Para quaisquer matrizes A e B, de ordem n, vale a relação (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.
( ) O traço de uma matriz coincide com o traço da sua transposta.
( ) Existem sistemas lineares homogêneos (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) sem solução.
( ) O sistema linear \left\{\begin{array}{l}2x+4y=7\\[4pt]3x-6y=21\end{array}\right. é possível determinado.
( ) Se a primeira linha da matriz A é igual ao dobro da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \det(A)=2\det(B).
( ) Se \det(X)\neq 0, então X admite uma inversa.
( ) \det(A+B)=\det(A)+\det(B).
( ) Se A é invertível, então \left(A^{-1}\right)^{t}=\left(A^{t}\right)^{-1}.
Não vou resolver nada aqui ainda; só enumerei exatamente as 10 afirmações que precisamos julgar.]
Passo 2
Analisando a sentença 1: “Se A é 10\times20 e B é 20\times50, então AB tem ordem 10\times50.”
Explicação didática do conceito usado:
Regra de dimensão para multiplicação de matrizes: duas matrizes podem ser multiplicadas A B se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Se A é m\times p e B é p\times n, então AB é m\times n.
Aplicando aqui:
A é 10\times20 (ou seja, m=10, p=20),
B é 20\times50 (ou seja, p=20, n=50).
Como os 20 coincidem, a multiplicação é possível e o produto tem ordem 10\times50.
Conclusão: a sentença 1 é VERDADEIRA.
Passo 3
Analisando a sentença 2: “Se A é diagonal e idempotente (A^{2}=A), então A=I_{2} ou A=\mathbf{0}_{2}.”
Conceito e raciocínio passo a passo:
Uma matriz diagonal A de ordem 2 tem a forma \begin{pmatrix}a_{11} & 0\\[2pt]0 & a_{22}\end{pmatrix}.
Idempotente significa A^{2}=A. Para matriz diagonal, basta que cada elemento diagonal satisfaça a_{ii}^{2}=a_{ii}.
Resolvendo a equação escalar t^{2}=t obtemos t(t-1)=0, logo t=0 ou t=1.
Isso significa que a_{11}\in\{0,1\} e a_{22}\in\{0,1\}, mas podem ser escolhidos independentemente.
Exemplos possíveis: \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix} (nem I_2 nem \mathbf{0}_2), \begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}, além de I_2 e \mathbf{0}_2.
Portanto a afirmação que diz que só há as duas possibilidades é falsa: existem outras matrizes diagonais idempotentes.
Conclusão: a sentença 2 é FALSA.]
Passo 4
Analisando a sentença 3: “Para quaisquer matrizes A e B, vale (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.”
Conceito e explicação:
Em álgebra de matrizes, (A+B)^{2} é por definição (A+B)(A+B)=A^{2}+AB+BA+B^{2}.
Para transformar isso em A^{2}+2AB+B^{2} seria necessário que AB=BA (ou seja, que A e B comutem), porque só então AB+BA=2AB.
Em geral, matrizes não comutam (AB\neq BA normalmente), então a identidade do binômio usual dos escalares não vale para matrizes sem essa hipótese.
Contraexemplo simples: tomar A=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix}. Calcula-se que AB\neq BA, e então a igualdade pedida falha.
Conclusão: a sentença 3 é FALSA (a menos que haja a hipótese extra AB=BA, que não foi dada).]
Passo 5
Analisando a sentença 4: “O traço de uma matriz coincide com o traço da sua transposta.”
Conceito e demonstração:
O traço \operatorname{tr}(A) de uma matriz A=(a_{ij}) é definido como a soma dos elementos da diagonal principal: \operatorname{tr}(A)=\sum_{i} a_{ii}.
A transposta A^{t} tem entradas (A^{t})_{ij}=a_{ji}. Os elementos da diagonal de A^{t} são (A^{t})_{ii}=a_{ii}, exatamente os mesmos da matriz original.
Logo \operatorname{tr}(A^{t})=\sum_{i}(A^{t})_{ii}=\sum_{i}a_{ii}=\operatorname{tr}(A).
Conclusão: a sentença 4 é VERDADEIRA.
Passo 6
Analisando a sentença 5: “Existem sistemas lineares homogêneos sem solução.”
Conceito e explicação:
Um sistema linear homogêneo tem forma A\mathbf{x}=\mathbf{0}, onde o vetor de termos independentes é \mathbf{0}.
O vetor \mathbf{x}=\mathbf{0} (o vetor nulo) é sempre solução desse sistema; portanto todo sistema homogêneo tem pelo menos essa solução trivial.
Consequentemente, um sistema homogêneo não pode ser impossível (sem solução).
Conclusão: a sentença 5 é FALSA.
Passo 7
Analisando a sentença 6: “O sistema \left\{\begin{array}{l}2x+4y=7\\[4pt]3x-6y=21\end{array}\right. é possível determinado.”
Passo a passo para decidir:
Para um sistema linear 2\times2, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes para verificar se existe solução única. A matriz dos coeficientes é \begin{pmatrix}2&4\\[2pt]3&-6\end{pmatrix}.
Calcular o determinante: \det\begin{pmatrix}2&4\\[2pt]3&-6\end{pmatrix}=2\cdot(-6)-4\cdot3=-12-12=-24.
Como -24\neq 0, a matriz de coeficientes é invertível e o sistema tem única solução (é possível e determinado).
Conclusão: a sentença 6 é VERDADEIRA.]
Passo 8
Analisando a sentença 7: “Se a primeira linha de A é igual ao dobro da primeira linha de B e as demais linhas coincidem, então \det(A)=2\det(B).”
Conceito e justificativa:
Uma propriedade fundamental do determinante: se uma linha de uma matriz é multiplicada por um escalar \lambda, o determinante é multiplicado por \lambda.
Aqui apenas a primeira linha de B foi multiplicada por 2 para obter A; as demais linhas são iguais. Assim \det(A)=2\det(B).
Observação: isso vale igualmente para colunas; determinante é multilinear em cada linha (ou coluna) separadamente.
Conclusão: a sentença 7 é VERDADEIRA.
Passo 9
Analisando a sentença 8: “Se \det(X)\neq 0, então X admite uma inversa.”
Conceito e explicação:
Para matrizes quadradas sobre um corpo (por exemplo os reais), a matriz X é invertível se e somente se \det(X)\neq 0.
Portanto a condição \det(X)\neq 0 garante a existência da inversa X^{-1}.
Conclusão: a sentença 8 é VERDADEIRA.
Passo 10
Analisando a sentença 9: “\det(A+B)=\det(A)+\det(B).”
Conceito e contraexemplo:
O determinante não é uma função linear em relação à soma de matrizes; ele é multilinear em cada linha separadamente, mas isso não implica \det(A+B)=\det(A)+\det(B) em geral.
Contraexemplo simples: tomar A=I e B=-I (matriz identidade e sua negativa). Então \det(A)=1, \det(B)=(-1)^{n} para ordem n, e A+B=0 tem \det(A+B)=0. Em muitas ordens a soma dos determinantes não coincide com zero; por exemplo para n=2 temos \det(I)=1, \det(-I)=1 (porque \det(-I)=(-1)^{2}=1), então \det(I)+\det(-I)=2\neq 0=\det(I+(-I)).
Logo em geral a igualdade não vale.
Conclusão: a sentença 9 é FALSA.
Passo 11
Analisando a sentença 10: “Se A é invertível, então \left(A^{-1}\right)^{t}=\left(A^{t}\right)^{-1}.”
Prova e explicação didática:
Se A é invertível, então AA^{-1}=I.
Tomando transposta em ambos os lados: (AA^{-1})^{t}=I^{t}. Mas (AA^{-1})^{t}=(A^{-1})^{t}A^{t} (propriedade (PQ)^{t}=Q^{t}P^{t}), e I^{t}=I.
Assim (A^{-1})^{t}A^{t}=I. Isso mostra que (A^{-1})^{t} é inversa à esquerda de A^{t}.
De modo semelhante começando por A^{-1}A=I e transpondo, encontra-se A^{t}(A^{-1})^{t}=I, mostrando que (A^{-1})^{t} é também inversa à direita de A^{t}.
Portanto (A^{-1})^{t}=(A^{t})^{-1}.
Conclusão: a sentença 10 é VERDADEIRA.