1. O produto da matriz A=\left(\begin{array}{cc}3 / 5 & 4 / 5 \\\ x & y\end{array}\right) pela sua transposta é a identidade. Determine x e y sabendo que \operatorname{det}(A)>0.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5} & \dfrac{4}{5} \\[6pt] x & y\end{pmatrix}
e diz que o produto de A pela sua transposta é a identidade, isto é
A A^{T}=I.
Pede-se determinar os valores de x e y sabendo que \det(A)>0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A é 2\times2.
  • A condição A A^{T}=I gera equações que relacionam x e y.
  • Há uma restrição adicional: \det(A)>0, que escolherá entre soluções possíveis.]

Passo 2

Explicar como calcular A A^{T}. Para uma matriz 2\times2,
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, \qquad A^{T}=\begin{pmatrix}a & c\\\ b & d\end{pmatrix},
o produto A A^{T} tem entradas dadas pelo produto escalar das linhas de A. Em particular a entrada (1,1) é a soma dos quadrados dos elementos da primeira linha, a entrada (1,2) é o produto escalar entre a primeira e a segunda linha, e a entrada (2,2) é a soma dos quadrados da segunda linha:
A A^{T}=\begin{pmatrix} a^{2}+b^{2} & a c + b d\\[4pt] a c + b d & c^{2}+d^{2} \end{pmatrix}.
Agora apliquei isso à nossa matriz com a=\dfrac{3}{5}, b=\dfrac{4}{5}, c=x, d=y. Então
A A^{T}=\begin{pmatrix} \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2} & \dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y\\[6pt] \dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y & x^{2}+y^{2} \end{pmatrix}.
Como A A^{T}=I=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, igualamos entradas correspondentes e obtemos o sistema:
\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}=1, \qquad \dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y=0, \qquad x^{2}+y^{2}=1.
Observação: a primeira equação é verificada imediatamente porque \dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=\dfrac{25}{25}=1. Assim as equações que realmente relacionam x e y são
\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y=0 \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}=1.]

Passo 3

Simplificar a equação linear multiplicando por 5 para evitar frações:
3x+4y=0.
Resolver a linear para x em função de y:
3x=-4y \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{4}{3}y.
Substituir na equação da circunferência x^{2}+y^{2}=1:
\left(-\dfrac{4}{3}y\right)^{2}+y^{2}=1.
Calcule os termos:
\dfrac{16}{9}y^{2}+y^{2}=1.
Somar as parcelas com denominador comum:
\dfrac{16}{9}y^{2}+\dfrac{9}{9}y^{2}=\dfrac{25}{9}y^{2}=1.
Logo
y^{2}=\dfrac{9}{25}.
Portanto
y=\pm\dfrac{3}{5}.

Passo 4

Encontrar x correspondente para cada valor de y usando x=-\dfrac{4}{3}y.
Se y=\dfrac{3}{5}, então
x=-\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3}{5}=-\dfrac{4}{5}.
Se y=-\dfrac{3}{5}, então
x=-\dfrac{4}{3}\cdot\left(-\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{4}{5}.
Portanto há duas soluções candidatas:
(x,y)=\left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5}\right) \qquad\text{ou}\qquad (x,y)=\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right).

Passo 5

Aplicar a condição \det(A)>0 para escolher entre as duas soluções. Calcular o determinante geral de A:
\det(A)=\dfrac{3}{5}\cdot y - \dfrac{4}{5}\cdot x.
Avaliar para cada candidato:
Para (x,y)=\left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5}\right):
\det(A)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=\dfrac{25}{25}=1>0.
Para (x,y)=\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right):
\det(A)=\dfrac{3}{5}\cdot\left(-\dfrac{3}{5}\right)-\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=-\dfrac{9}{25}-\dfrac{16}{25}=-\dfrac{25}{25}=-1<0.
A segunda opção tem determinante negativo, portanto é rejeitada pela condição \det(A)>0. A solução válida é a primeira.
Observação didática final (resumindo a ideia por trás da condição A A^{T}=I): essa condição faz de A uma matriz ortogonal, cujas linhas (e colunas) formam um conjunto ortonormal. Para matrizes ortogonais 2\times2 o determinante vale +1 ou -1; a restrição \det(A)>0 seleciona a classe com determinante +1 (transformações que preservam a orientação).

Resposta

x=-\dfrac{4}{5},\\ y=\dfrac{3}{5}

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