1. Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
    ( ) Para matrizes A e B de ordem n, vale (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
    ( ) Se A é uma matriz 2 \times 2 tal que A^{2}=\mathbf{0}_{2}, então A=\mathbf{0}_{2}.
    ( ) É possível somar matrizes de ordem diferentes.
    ( ) Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução.
    ( ) Para o sistema A X=B se A admite uma inversa, então X=A^{-1} B é a solução desse sistema.
    ( ) O sistema linear \left\{\begin{array}{l}2 x-6 y=-8 \\\\ -x+3 y=4\end{array}\right. é impossível.
    ( ) Se a primeira linha da matriz A é igual a metade da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \operatorname{det}(A)=\frac{1}{2} \operatorname{det}(B).
    ( ) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
    ( ) Para matrizes A e B invertíveis, vale (A \cdot B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.
    ( ) Se B=A A^{t} A^{-1}, então \operatorname{det} B=\operatorname{det} A.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e cada uma das sentenças a avaliar (marcar como VERDADEIRA ou FALSA). São 10 sentenças, nesta ordem:
  1. Para matrizes A\) e \(B\) de ordem \(n\), vale \((A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\). 2. Se \(A\) é uma matriz \(2\times2\) tal que \(A^{2}=\mathbf{0}_{2}\), então \(A=\mathbf{0}_{2}\). 3. É possível somar matrizes de ordem diferentes. 4. Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução. 5. Para o sistema \(A X=B\) se \(A\) admite uma inversa, então \(X=A^{-1} B\) é a solução desse sistema. 6. O sistema linear \(\displaystyle\begin{cases}2x-6y=-8\\[4pt]-x+3y=4\end{cases} é impossível.
  2. Se a primeira linha da matriz A é igual a metade da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \det(A)=\tfrac{1}{2}\det(B).
  3. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
  4. Para matrizes A e B invertíveis, vale (A \cdot B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.
  5. Se B=A A^{t} A^{-1}, então \det B=\det A.]

Passo 2

Sentença 1: provar se (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t} é verdadeira ou falsa.
  • Lembrete: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas. Em termos de entrada, se C=A+B então \text{(C)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.
  • Vamos escrever a igualdade por entradas: para todo i,j,
\big((A+B)^{t}\big)_{ij}=(A+B)_{ji}=A_{ji}+B_{ji}=(A^{t})_{ij}+(B^{t})_{ij}=\big(A^{t}+B^{t}\big)_{ij}.
  • Como as entradas coincidem para todo i,j, as matrizes são iguais.
Conclusão: a sentença 1 é VERDADEIRA.

Passo 3

Sentença 2: "Se A é 2\times2 e A^{2}=\mathbf{0}_{2}, então A=\mathbf{0}_{2}". Ver se é verdadeira.
  • Conceito: uma matriz A tal que A^{k}=\mathbf{0} para algum k\ge1 chama-se nilpotente. Nilpotência não implica necessariamente que A=\mathbf{0}.
  • Exemplo concreto (contraexemplo): considere
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Calcule A^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot0\\[4pt]0\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}=\mathbf{0}_{2}.
  • Aqui A\neq\mathbf{0}_{2} mas A^{2}=\mathbf{0}_{2}. Portanto a afirmação "então A=\mathbf{0}_{2}" é falsa.
Conclusão: a sentença 2 é FALSA.]

Passo 4

Sentença 3: “É possível somar matrizes de ordem diferentes.” Verificação.
  • Regra de soma de matrizes: apenas se as matrizes têm as mesmas dimensões (mesmo número de linhas e colunas) a soma está definida.
  • Se A é m\times n e B é p\times q com (m,n)\neq(p,q), a soma A+B não está definida.
Conclusão: a sentença 3 é FALSA.

Passo 5

Sentença 4: “Todo sistema linear homogêneo admite uma solução.” Verificação.
  • Um sistema homogêneo tem a forma A x=\mathbf{0}.
  • Observação básica: a solução x=\mathbf{0} (o vetor nulo) satisfaz sempre A\mathbf{0}=\mathbf{0}.
  • Portanto existe pelo menos uma solução (chamada trivial). Pode haver outras (não triviais) se o núcleo de A tiver dimensão maior que zero, mas a existência mínima é garantida.
Conclusão: a sentença 4 é VERDADEIRA.

Passo 6

Sentença 5: “Para o sistema A X=B se A admite uma inversa, então X=A^{-1} B é a solução desse sistema.” Verificação e explicação.
  • Se A é invertível, multiplica-se a equação pela esquerda por A^{-1}:
A X = B \quad\Rightarrow\quad A^{-1} A X = A^{-1} B \quad\Rightarrow\quad I X = A^{-1} B \quad\Rightarrow\quad X = A^{-1} B.
  • Isso mostra que X=A^{-1}B é solução. Além disso, quando A é invertível a solução é única (porque A tem inversa).
Conclusão: a sentença 5 é VERDADEIRA.

Passo 7

Sentença 6: “O sistema \displaystyle\begin{cases}2x-6y=-8\\[4pt]-x+3y=4\end{cases} é impossível.” Verificação cuidadosa.
  • Note que a segunda equação é -x+3y=4. Multiplicando a primeira equação por -\tfrac{1}{2} obtemos:
-\tfrac{1}{2}(2x-6y)=-\tfrac{1}{2}(-8)\quad\Rightarrow\quad -x+3y=4,
que é exatamente a segunda equação.
  • Isso significa que as equações são dependentes (a segunda é múltiplo da primeira). O sistema não é contraditório; ele possui infinitas soluções (é um sistema com uma equação efetiva só).
  • Para ver um exemplo de solução: da primeira equação 2x-6y=-8 divida por 2:
x-3y=-4\quad\Rightarrow\quad x=3y-4.
Escolhendo y livre (por exemplo y=0) dá x=-4, que satisfaz ambas as equações.
Conclusão: a afirmação de que o sistema é impossível é FALSA.]

Passo 8

Sentença 7: “Se a primeira linha da matriz A é igual a metade da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \det(A)=\tfrac{1}{2}\det(B).” Verificação.
  • Propriedade do determinante: multiplicar uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar c multiplica o determinante por c.
  • Aqui A é obtida de B multiplicando-se a primeira linha por \tfrac{1}{2} e deixando as outras iguais. Logo
\det(A)=\tfrac{1}{2}\det(B).
  • (Observação prática: isso vale independentemente da ordem da matriz; só importa que foi uma única linha multiplicada.)
Conclusão: a sentença 7 é VERDADEIRA.

Passo 9

Sentença 8: “O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.” Verificação.
  • Definição/Propriedade: para qualquer matriz triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
  • Raciocínio curto: pode-se provar por expansão ou encontrar uma fatoração triangular que mantém essa propriedade; é uma propriedade padrão de determinantes.
Conclusão: a sentença 8 é VERDADEIRA.

Passo 10

Sentença 9: “Para matrizes A e B invertíveis, vale (A \cdot B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.” Verificação e correção.
  • Regra correta: (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}. A ordem é invertida ao tomar a inversa de um produto.
  • Verificação rápida:
(A B)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=A I A^{-1}=I,
e também (B^{-1}A^{-1})(A B)=I. Assim B^{-1}A^{-1} é o inverso de AB.
  • Então a expressão dada (AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1} só seria verdadeira se A^{-1}B^{-1}=B^{-1}A^{-1}, ou seja, se A^{-1} e B^{-1} (ou A e B) comutassem; em geral não comutam.
Conclusão: a sentença 9 é FALSA.

Passo 11

Sentença 10: “Se B=A A^{t} A^{-1}, então \det B=\det A.” Verificação passo a passo.
  • Supondo A invertível (necessário para A^{-1} existir), use propriedades do determinante:
\det(B)=\det\big(A A^{t} A^{-1}\big)=\det(A)\det(A^{t})\det(A^{-1}).
  • Propriedade: \det(A^{t})=\det(A). E \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.
  • Substituindo:
\det(B)=\det(A)\cdot\det(A)\cdot\det(A)^{-1}=\det(A).
  • Portanto a igualdade \det B=\det A é verdadeira.
Conclusão: a sentença 10 é VERDADEIRA.

Resposta

V
F
F
V
V
F
V
V
F
V

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