Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
( ) Para matrizes A e B de ordem n, vale (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
( ) Se A é uma matriz 2 \times 2 tal que A^{2}=\mathbf{0}_{2}, então A=\mathbf{0}_{2}.
( ) É possível somar matrizes de ordem diferentes.
( ) Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução.
( ) Para o sistema A X=B se A admite uma inversa, então X=A^{-1} B é a solução desse sistema.
( ) O sistema linear \left\{\begin{array}{l}2 x-6 y=-8 \\\\ -x+3 y=4\end{array}\right. é impossível.
( ) Se a primeira linha da matriz A é igual a metade da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \operatorname{det}(A)=\frac{1}{2} \operatorname{det}(B).
( ) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
( ) Para matrizes A e B invertíveis, vale (A \cdot B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.
( ) Se B=A A^{t} A^{-1}, então \operatorname{det} B=\operatorname{det} A.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e cada uma das sentenças a avaliar (marcar como VERDADEIRA ou FALSA). São 10 sentenças, nesta ordem:
Para matrizes A\) e \(B\) de ordem \(n\), vale \((A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\).
2. Se \(A\) é uma matriz \(2\times2\) tal que \(A^{2}=\mathbf{0}_{2}\), então \(A=\mathbf{0}_{2}\).
3. É possível somar matrizes de ordem diferentes.
4. Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução.
5. Para o sistema \(A X=B\) se \(A\) admite uma inversa, então \(X=A^{-1} B\) é a solução desse sistema.
6. O sistema linear \(\displaystyle\begin{cases}2x-6y=-8\\[4pt]-x+3y=4\end{cases} é impossível.
Se a primeira linha da matriz A é igual a metade da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \det(A)=\tfrac{1}{2}\det(B).
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
Para matrizes A e B invertíveis, vale (A \cdot B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.
Se B=A A^{t} A^{-1}, então \det B=\det A.]
Passo 2
Sentença 1: provar se (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t} é verdadeira ou falsa.
Lembrete: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas. Em termos de entrada, se C=A+B então \text{(C)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.
Vamos escrever a igualdade por entradas: para todo i,j,
Aqui A\neq\mathbf{0}_{2} mas A^{2}=\mathbf{0}_{2}. Portanto a afirmação "então A=\mathbf{0}_{2}" é falsa.
Conclusão: a sentença 2 é FALSA.]
Passo 4
Sentença 3: “É possível somar matrizes de ordem diferentes.” Verificação.
Regra de soma de matrizes: apenas se as matrizes têm as mesmas dimensões (mesmo número de linhas e colunas) a soma está definida.
Se A é m\times n e B é p\times q com (m,n)\neq(p,q), a soma A+B não está definida.
Conclusão: a sentença 3 é FALSA.
Passo 5
Sentença 4: “Todo sistema linear homogêneo admite uma solução.” Verificação.
Um sistema homogêneo tem a forma A x=\mathbf{0}.
Observação básica: a solução x=\mathbf{0} (o vetor nulo) satisfaz sempre A\mathbf{0}=\mathbf{0}.
Portanto existe pelo menos uma solução (chamada trivial). Pode haver outras (não triviais) se o núcleo de A tiver dimensão maior que zero, mas a existência mínima é garantida.
Conclusão: a sentença 4 é VERDADEIRA.
Passo 6
Sentença 5: “Para o sistema A X=B se A admite uma inversa, então X=A^{-1} B é a solução desse sistema.” Verificação e explicação.
Se A é invertível, multiplica-se a equação pela esquerda por A^{-1}:
A X = B \quad\Rightarrow\quad A^{-1} A X = A^{-1} B \quad\Rightarrow\quad I X = A^{-1} B \quad\Rightarrow\quad X = A^{-1} B.
Isso mostra que X=A^{-1}B é solução. Além disso, quando A é invertível a solução é única (porque A tem inversa).
Conclusão: a sentença 5 é VERDADEIRA.
Passo 7
Sentença 6: “O sistema \displaystyle\begin{cases}2x-6y=-8\\[4pt]-x+3y=4\end{cases} é impossível.” Verificação cuidadosa.
Note que a segunda equação é -x+3y=4. Multiplicando a primeira equação por -\tfrac{1}{2} obtemos:
Isso significa que as equações são dependentes (a segunda é múltiplo da primeira). O sistema não é contraditório; ele possui infinitas soluções (é um sistema com uma equação efetiva só).
Para ver um exemplo de solução: da primeira equação 2x-6y=-8 divida por 2:
x-3y=-4\quad\Rightarrow\quad x=3y-4.
Escolhendo y livre (por exemplo y=0) dá x=-4, que satisfaz ambas as equações.
Conclusão: a afirmação de que o sistema é impossível é FALSA.]
Passo 8
Sentença 7: “Se a primeira linha da matriz A é igual a metade da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \det(A)=\tfrac{1}{2}\det(B).” Verificação.
Propriedade do determinante: multiplicar uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar c multiplica o determinante por c.
Aqui A é obtida de B multiplicando-se a primeira linha por \tfrac{1}{2} e deixando as outras iguais. Logo
\det(A)=\tfrac{1}{2}\det(B).
(Observação prática: isso vale independentemente da ordem da matriz; só importa que foi uma única linha multiplicada.)
Conclusão: a sentença 7 é VERDADEIRA.
Passo 9
Sentença 8: “O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.” Verificação.
Definição/Propriedade: para qualquer matriz triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Raciocínio curto: pode-se provar por expansão ou encontrar uma fatoração triangular que mantém essa propriedade; é uma propriedade padrão de determinantes.
Conclusão: a sentença 8 é VERDADEIRA.
Passo 10
Sentença 9: “Para matrizes A e B invertíveis, vale (A \cdot B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.” Verificação e correção.
Regra correta: (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}. A ordem é invertida ao tomar a inversa de um produto.
Verificação rápida:
(A B)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=A I A^{-1}=I,
e também (B^{-1}A^{-1})(A B)=I. Assim B^{-1}A^{-1} é o inverso de AB.
Então a expressão dada (AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1} só seria verdadeira se A^{-1}B^{-1}=B^{-1}A^{-1}, ou seja, se A^{-1} e B^{-1} (ou A e B) comutassem; em geral não comutam.
Conclusão: a sentença 9 é FALSA.
Passo 11
Sentença 10: “Se B=A A^{t} A^{-1}, então \det B=\det A.” Verificação passo a passo.
Supondo A invertível (necessário para A^{-1} existir), use propriedades do determinante: