Indique como seria possível retirar uma amostra sistemática de 35 elementos a partir de uma população ordenada formada por 2590 elementos. Na ordenação geral, qual dos elementos abaixo seria escolhido para pertencer à amostra, sabendo-se que o elemento de ordem 1546 a ela pertence?
2323^{\circ}, 636^{\circ}, 1841^{\circ}, 1028^{\circ} e 242^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede uma amostra sistemática de tamanho n=35 retirada de uma população ordenada de N=2590 elementos. Sabe-se que o elemento de ordem 1546 pertence à amostra e é preciso descobrir qual dos índices 2323^{\circ},\;636^{\circ},\;1841^{\circ},\;1028^{\circ} ou 242^{\circ} também está na amostra. O conteúdo aqui é amostragem sistemática e uso de aritmética modular para verificar as posições amostradas.

Passo 2

Calculamos o intervalo de seleção
k = \frac{N}{n} = \frac{2590}{35} = 74.
Na amostragem sistemática escolhe-se um início r em \{1,2,\dots,74\} e então a amostra abrange as ordens
r,\;r+74,\;r+2\cdot74,\;\dots,\;r+34\cdot74.

Passo 3

Como o elemento de ordem 1546 está na amostra, existe um inteiro m tal que
1546 = r + m\cdot74.
Isso implica
r \equiv 1546 \pmod{74}.
Fazendo a divisão 1546\div74 obtemos quociente 20 e resto 66. Logo
r = 66.

Passo 4

Portanto as posições amostradas são
66,\;66+74=140,\;214,\;\dots,\;66+34\cdot74=2582.
Para saber qual dos índices dados pertence à amostra, basta verificar qual satisfaz
i \equiv 66 \pmod{74}.
Calculamos os restos:
2323\bmod74 = 29,\quad 636\bmod74 = 44,\quad 1841\bmod74 = 65,
1028\bmod74 = 66,\quad 242\bmod74 = 20.
Apenas 1028 deixa resto 66, portanto é selecionado.

Resposta

1028^{\circ} pertence à amostra sistemática.

Exercícios relacionados