Mostre como seria possível retirar uma amostra de 32 elementos de uma população ordenada formada por 2.432 elementos. Na ordenação geral, qual dos elementos abaixo seria escolhido para pertencer à amostra, sabendo-se que o elemento de ordem 1.420 a ela pertence?
1648, 290, 725, 2025 ou 1120

Passo 1

O enunciado pede uma amostra sistemática de tamanho n=32 extraída de uma população ordenada com N=2432 elementos. Sabemos que, nesse método, escolhemos um intervalo constante
k = \frac{N}{n}
e um ponto de partida aleatório r entre 1 e k, de modo que as posições amostradas são
R_m = r + (m-1)\,k,\quad m=1,2,\dots,n.
Aqui vamos usar os dados N=2432, n=32 e o fato de que o elemento de ordem 1420 pertence à amostra para determinar r e, em seguida, verificar qual dentre as opções está na amostra.

Passo 2

Calculemos o intervalo sistemático:
k = \frac{2432}{32} = 76.
Logo, a amostra é dada pelas posições
R_m = r + (m-1)\cdot 76,\quad m=1,2,\dots,32,
com 1 \le r \le 76.

Passo 3

Como o elemento de ordem 1420 está na amostra, existe um m tal que
1420 = r + (m-1)\cdot 76.
Tomando essa igualdade módulo 76, obtemos
1420 \equiv r \pmod{76}.
Como 76\times 18 = 1368, segue
1420 - 1368 = 52,
portanto
r = 52.

Passo 4

Agora, qualquer elemento de ordem x pertence à amostra se e somente se
x = 52 + j\cdot 76
para algum inteiro j entre 0 e 31. Testando cada opção:
  • 1648 - 52 = 1596 e \tfrac{1596}{76}=21\in\{0,\dots,31\},
  • os demais não produzem quociente inteiro entre 0 e 31.
Logo, o único que satisfaz é 1648.

Resposta

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