Indique o tipo de indeterminação e após resolva os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôpital.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: indicar o tipo de indeterminação e, em seguida, calcular o limite usando a Regra de L’Hôpital. A expressão dada é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Quando
temos , então a base . - Quando
o expoente . - Portanto a forma da expressão é do tipo
, que é uma indeterminação (ou seja, não podemos concluir o valor do limite só com essa observação).
Passo 2
Transformamos a expressão para trabalhar com logaritmos (isso é padrão para formas
). Definimos
Tomando logaritmo natural de ambos os lados obtemos
Agora o limite pedido satisfaz
quando o limite do logaritmo existir. Vamos calcular o limite interior
Observe que
e
, então a forma dessa fração é
, que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Aplicamos a Regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a
. Primeiro a derivada do numerador:
A derivada do denominador
é
. Portanto, pela Regra de L’Hôpital,
desde que o limite à direita exista.
Passo 4
Agora avaliamos o limite obtido por substituição direta (já que não há indeterminação):
Logo
.
Passo 5
Voltando à variável original, se
então
Portanto
Você pode lembrar disso também pelo desenvolvimento
para
pequeno: com
obtemos
e
, chegando à mesma conclusão.
Resposta
Indeterminação: