Indique o tipo de indeterminação e após resolva os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1+\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: indicar o tipo de indeterminação e, em seguida, calcular o limite usando a Regra de L’Hôpital. A expressão dada é \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}(1+\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{x}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Quando x\to 0^{+} temos \operatorname{sen} x\to 0, então a base 1+\operatorname{sen} x\to 1.
  • Quando x\to 0^{+} o expoente \frac{1}{x}\to +\infty.
  • Portanto a forma da expressão é do tipo 1^{\infty}, que é uma indeterminação (ou seja, não podemos concluir o valor do limite só com essa observação).

Passo 2

Transformamos a expressão para trabalhar com logaritmos (isso é padrão para formas 1^{\infty}). Definimos
y=(1+\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{x}}.
Tomando logaritmo natural de ambos os lados obtemos
\ln y=\frac{\ln(1+\operatorname{sen} x)}{x}.
Agora o limite pedido satisfaz
\lim_{x\to 0^{+}}(1+\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{x}}=\exp\!\Big(\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+\operatorname{sen} x)}{x}\Big),
quando o limite do logaritmo existir. Vamos calcular o limite interior
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+\operatorname{sen} x)}{x}.
Observe que \ln(1+\operatorname{sen} x)\to \ln 1=0 e x\to 0, então a forma dessa fração é 0/0, que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x. Primeiro a derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\big[\ln(1+\operatorname{sen} x)\big]=\frac{1}{1+\operatorname{sen} x}\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x)=\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x}.
A derivada do denominador x é 1. Portanto, pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+\operatorname{sen} x)}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x},
desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Agora avaliamos o limite obtido por substituição direta (já que não há indeterminação):
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x}=\frac{\cos 0}{1+\operatorname{sen} 0}=\frac{1}{1+0}=1.
Logo \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\ln y = 1.

Passo 5

Voltando à variável original, se \ln y \to 1 então
y=\exp(\ln y)\to e^{1}=e.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}}(1+\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{x}}=e.
Você pode lembrar disso também pelo desenvolvimento \ln(1+u)\sim u para u pequeno: com u=\operatorname{sen} x obtemos \ln(1+\operatorname{sen} x)\sim\operatorname{sen} x e \operatorname{sen} x/x\to 1, chegando à mesma conclusão.

Resposta

Indeterminação: 1^{\infty}
\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}(1+\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{x}}=e

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