f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}, x \leq 1 \\\ a x^{2}+b x+1, x>1 \end{array}\right.
a) Vefique que se f é contínua em x=1 então a e b satisfazem uma relação da forma k_{1} a+k_{2} b=0. onde k_{1} e k_{2} são constantes reais.
b) Encontre a e b para que f seja também derivável em x=1.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2},\\ x\leq 1\\[4pt] a x^{2}+b x+1,\\ x>1 \end{array}\right.
e pede duas coisas:
(a) Mostrar que, se f é contínua em x=1, então a e b satisfazem uma relação linear da forma k_{1}a+k_{2}b=0, com k_{1},k_{2}\in\mathbb{R}.
(b) Encontrar os valores de a e b para que f seja também derivável em x=1.
Nada mais é pedido; vamos aplicar as definições de continuidade e de derivabilidade no ponto x=1.]
Passo 2
Relembrando (aula rápida e prática) o que significa ser contínuo em x=1:
Uma função é contínua em x=1 se o valor da função em 1 for igual ao limite quando x\to1. Para função por partes precisamos que os limites laterais existam e coincidam com o valor em 1.
O valor da função em 1 vem do ramo onde x=1 está incluído: como o ramo x^{2} vale para x\leq1, temos
f(1)=1^{2}=1.
O limite pela direita (usando o ramo direito, que vale para x>1) é
A condição de continuidade exige igualdade entre valor e limite pela direita (os limites laterais devem coincidir; aqui o limite pela esquerda é 1 também porque o ramo esquerdo é contínuo):
Subtraindo 1 dos dois lados obtemos a relação simples
a+b=0.
Isto já é exatamente uma relação linear da forma k_{1}a+k_{2}b=0 com k_{1}=1 e k_{2}=1. Assim concluímos a parte (a).
Passo 3
Agora vamos à definição de derivabilidade em x=1 e como aplicá-la aqui:
Uma função é derivável em x=1 se o limite que define a derivada existir; para funções por partes, uma maneira prática é verificar se as derivadas dos dois ramos, avaliadas em x=1 a partir da esquerda e da direita, coincidem (isto é suficiente quando cada ramo é diferenciável até o ponto).
Derivada do ramo esquerdo x^{2}: para qualquer x temos (x^{2})' = 2x. Logo a derivada “pela esquerda” em 1 é
f'_{-}(1)=2\cdot1=2.
Derivada do ramo direito a x^{2}+b x+1: derivando termo a termo obtemos (a x^{2}+b x+1)' = 2a x + b. Portanto a derivada “pela direita” em 1 é
f'_{+}(1)=2a\cdot1 + b = 2a + b.
A condição de derivabilidade exige igualdade das derivadas laterais:
f'_{-}(1)=f'_{+}(1)\quad\Longrightarrow\quad 2 = 2a + b.
Passo 4
Agora resolvemos o sistema formado pelas condições de continuidade e derivabilidade:
Temos as duas equações lineares
\begin{cases} a + b = 0,\\[4pt] 2a + b = 2. \end{cases}
Para resolver subtraímos a primeira equação da segunda:
(2a+b)-(a+b)=2-0 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.
Substituindo a=2 em a+b=0 obtemos
2 + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -2.]
Passo 5
Verificação final e interpretação intuitiva (rápido, como numa prova):
Dica de prova rápida: sempre primeiro garanta continuidade (se não for contínua, não precisa checar derivada). Depois compare as derivadas laterais (derivando cada ramo) no ponto.