Indique o tipo de indeterminação ( 0 / 0 ou infty / infty ) e utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x -infty(1+2x)^x^2.
(2.0 pontos)
Sugestões: (i) na regra de LHôpital, use ln (1x-pi / 2)cos ^-1(x), (ii) para derivar ln ^3(x), use a regra da cadeia, (iii) para b>0 e p um real qualquer, b^p=e^p cdot ln (b). Calcule lim x -infty ln (1+2x)x^-2.

Passo 1

Temos o limite limxto -inftyl(1+2/xr)^x^2. O conteúdo é um limite exponencial do tipo 1^infty e vamos usar a transformação b^p=e^pln b.

Passo 2

Definimos y=(1+2/x)^x^2 e tomamos o logaritmo, obtendo ln y = x^2ln(1+2/x).
A expressão ln y = x^2ln(1+2/x) é do tipo inftycdot0. Para aplicar a regra de L’Hôpital, reescrevemos como quociente:
ln(1+2/x)x^-2

Passo 3

Ao calcular o limite de ln(1+2/x) quando xto -infty temos ln(1)=0 e de x^-2 temos 0, logo é uma indeterminação 0/0.
Aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador separadamente:
Derivada do numerador:
(ln(1+2/x))' = -2/x^21+2/x = -2x(x+2)
Derivada do denominador:
(x^-2)' = -2x^-3 = -2x^3

Passo 4

O novo quociente fica:
-2/(x(x+2))-2/x^3 = x^3x(x+2) = x^2x+2
Calculamos o limite desse quociente:
limxto -inftyx^2x+2 = limxto -inftyx1+2/x = -infty

Passo 5

Como ln yto -infty, temos y=e^ln yto e^-infty=0. Portanto o limite original é 0.

Resposta

0

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