Indique o tipo de indeterminação (
ou
) e utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
.
(2.0 pontos)
Sugestões: (i) na regra de LHôpital, use
, (ii) para derivar
, use a regra da cadeia, (iii) para
e p um real qualquer,
. Calcule
.
(2.0 pontos)
Sugestões: (i) na regra de LHôpital, use
Passo 1
Temos o limite
. O conteúdo é um limite exponencial do tipo
e vamos usar a transformação
.
Passo 2
Definimos
e tomamos o logaritmo, obtendo
.
A expressão é do tipo
. Para aplicar a regra de L’Hôpital, reescrevemos como quociente:
A expressão
Passo 3
Ao calcular o limite de
quando
temos
e de
temos 0, logo é uma indeterminação
.
Aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 4
O novo quociente fica:
Calculamos o limite desse quociente:
Passo 5
Como
, temos
. Portanto o limite original é 0.
Resposta
0