A linearização L(x) de uma função f(x) no ponto x=x_{0} pode ser realizada pela seguinte fórmula
f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left.\left(x-x_{0}\right) \frac{d f}{d x}\right|_{x=x_{0}}
Encontre a linearização das funções a seguir no ponto x=x_{0}
f(x)=x^{3 / 4}, x_{0}=16

Passo 1

O enunciado pede a linearização de f(x)=x^{3/4} em torno de x_{0}=16. Para isso vamos usar a aproximação linear (primeiro termo da série de Taylor) dada por
L(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0}).

Passo 2

Primeiro calculamos o valor da função em x_{0}:
f(16)=16^{3/4}=\bigl(16^{1/4}\bigr)^{3}=2^{3}=8.
Em seguida obtemos a derivada de f:
f'(x)=\frac{3}{4}\,x^{-1/4},
e avaliamos em x_{0}=16:
f'(16)=\frac{3}{4}\,16^{-1/4}=\frac{3}{4}\cdot\frac1{2}=\frac{3}{8}.

Passo 3

Substituindo f(16)=8 e f'(16)=\tfrac{3}{8} na fórmula da linearização, vem
L(x)=8+\frac{3}{8}\,(x-16).

Resposta

L(x)=8+\frac{3}{8}(x-16).

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