A linearização L(x) de uma função f(x) no ponto x=x_{0} pode ser realizada pela seguinte fórmula
f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left.\left(x-x_{0}\right) \frac{d f}{d x}\right|_{x=x_{0}}
Encontre a linearização das funções a seguir no ponto x=x_{0}
f(x)=3 x^{5}, x_{0}=2

Passo 1

O enunciado pede a linearização de f(x)=3x^5 em torno de x_0=2. Para isso usamos a fórmula da aproximação linear (reta de Taylor de primeira ordem):
L(x)=f(x_0)+(x-x_0)\,f'(x_0).

Passo 2

Calculamos primeiro o valor de f em x_0=2:
f(2)=3\cdot2^5=3\cdot32=96.
Em seguida determinamos a derivada de f e avaliamos em x_0:
f'(x)=15x^4, \quad f'(2)=15\cdot2^4=15\cdot16=240.

Passo 3

Substituindo estes valores na fórmula da linearização, obtemos
L(x)=96+(x-2)\cdot240.

Resposta

L(x)=96+240(x-2).

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