Use as propriedades dos integrais para verificar as desigualdades, sem calcular os integrais.
(a) integral0^pi4 sen^3 x d x <= integral0^pi4 sen^2 x d x
(d) pi6 <= integralpi6^pi2 sen x d x <= pi3
(b) integral1^2 raiz5-x d x >= integral1^2 raizx-1 d x
(e) 0 <= integral0^4 arctg x d x<2 pi
© 2 <= integral-1^1 raiz1+x^2 d x <= 2 raiz2
(f) pi raiz224 <= integralpi6^pi4 cos x d x <= pi raiz324.

Passo 1

O exercício pede para verificar várias desigualdades envolvendo integrais sem, de fato, calcular os valores exatos, usando apenas propriedades de comparação de funções e de integrais. Vamos lidar com cada item mostrando por que a desigualdade vale em cada caso.

Passo 2

A propriedade principal é a monotonia do integral: se f(x)<= g(x) em [a,b], então integrala^b f(x),dx<=integrala^b g(x),dx. Além disso, se m<= f(x)<= M em [a,b], temos a cota em bloco:
m(b-a)<=integrala^b f(x),dx<= M(b-a)

Passo 3

No item (a), em [0,pi/4] temos 0<=sin x<=1, logo sin^3x=sin^2xcdotsin x<=sin^2xcdot1=sin^2x. Aplicando monotonia:
integral0^pi/4sin^3x,dx<=integral0^pi/4sin^2x,dx

Passo 4

No item (b), em [1,2] compare as quantidades dentro da raiz: para xin[1,2] vale 5-x>= x-1 pois isso equivale a 5>=2x e x<=2.5 é verdade. Como raizcdot é crescente,
raiz5-x>=raizx-1,,
então
integral1^2raiz5-x,dx>=integral1^2raizx-1,dx

Passo 5

No item ©, em [-1,1] temos
1+x^2in[1,2]implies1<=raiz1+x^2<=raiz2
Pelo teorema do valor médio do integral:
2cdot1<=integral-1^1raiz1+x^2,dx<=2cdotraiz2
isto é,
2<=integral-1^1raiz1+x^2,dx<=2raiz2

Passo 6

No item (d), em [pi/6,pi/2] a função sin x é crescente de 1/2 até 1. Logo
tfrac12<=sin x<=1
e o comprimento do intervalo é
pi/2-pi/6=pi/3
Portanto,
tfrac12cdottfracpi3<=integralpi/6^pi/2sin x,dx<=1cdottfracpi3
isto é,
tfracpi6<=integralpi/6^pi/2sin x,dx<=tfracpi3

Passo 7

No item (e), em [0,4] a arctan x é crescente de 0 até arctan4. Assim
0<=arctan x
e o comprimento do intervalo é 4, logo
0<=integral0^4arctan x,dx

Passo 8

No item (f), em [pi/6,pi/4] a cos x decresce de cos(pi/6)=tfracraiz32 até cos(pi/4)=tfracraiz22. Então
tfracraiz22<=cos x<=tfracraiz32
e o comprimento do intervalo é
pi/4-pi/6=tfracpi12
Multiplicando, vem
tfracraiz22cdottfracpi12<=integralpi/6^pi/4cos x,dx<=tfracraiz32cdottfracpi12
ou seja,
tfracpiraiz224<=integralpi/6^pi/4cos x,dx<=tfracpiraiz324

Resposta

Todas as desigualdades dadas nos itens (a)–(f) estão verificadas pelas propriedades de comparação de integrais, sem necessidade de calcular os valores exatos.

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