Use as propriedades dos integrais para verificar as desigualdades, sem calcular os integrais.
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
.
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Passo 1
O exercício pede para verificar várias desigualdades envolvendo integrais sem, de fato, calcular os valores exatos, usando apenas propriedades de comparação de funções e de integrais. Vamos lidar com cada item mostrando por que a desigualdade vale em cada caso.
Passo 2
A propriedade principal é a monotonia do integral: se
em
, então
. Além disso, se
em
, temos a cota em bloco:
Passo 3
No item (a), em
temos
, logo
. Aplicando monotonia:
Passo 4
No item (b), em
compare as quantidades dentro da raiz: para
vale
pois isso equivale a
e
é verdade. Como
é crescente,
então
Passo 5
No item ©, em
temos
Pelo teorema do valor médio do integral:
isto é,
Passo 6
No item (d), em
a função
é crescente de
até
. Logo
e o comprimento do intervalo é
Portanto,
isto é,
Passo 7
No item (e), em
a
é crescente de
até
. Assim
e o comprimento do intervalo é
, logo
Passo 8
No item (f), em
a
decresce de
até
. Então
e o comprimento do intervalo é
Multiplicando, vem
ou seja,
Resposta
Todas as desigualdades dadas nos itens (a)–(f) estão verificadas pelas propriedades de comparação de integrais, sem necessidade de calcular os valores exatos.