Seja T: R^{3} \rightarrow R uma transformação definida por T(x, y, z)=3 x-y+4 z. Prove que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a transformação T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} por
T(x,y,z) = 3x - y + 4z.
Queremos mostrar que T é linear, isto é, que para quaisquer vetores u,v \in \mathbb{R}^3 e escalar \alpha\in\mathbb{R} valem
  1. T(u+v) = T(u) + T(v) (aditividade)
  2. T(\alpha u) = \alpha\,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
e aplicando T a essa soma, temos
T(u+v) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) = 3(x_1+x_2)\;-\;(y_1+y_2)\;+\;4(z_1+z_2).
Distribuindo a soma e agrupando termos,
T(u+v) = (3x_1 - y_1 + 4z_1) + (3x_2 - y_2 + 4z_2) = T(x_1,y_1,z_1) + T(x_2,y_2,z_2) = T(u) + T(v).

Passo 3

Agora seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então
\alpha\,u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z),
e aplicando T ao vetor escalado,
T(\alpha u) = T(\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z) = 3(\alpha x) - (\alpha y) + 4(\alpha z) = \alpha\,(3x - y + 4z) = \alpha\,T(x,y,z) = \alpha\,T(u).

Passo 4

Mostramos que T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha\,T(u). Essas duas propriedades caracterizam uma transformação linear.

Resposta

A transformação T(x,y,z)=3x - y + 4z é linear.

Exercícios relacionados