Seja
uma transformação definida por
. Prove que
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado define a transformação
por
Queremos mostrar que
é linear, isto é, que para quaisquer vetores
e escalar
valem
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 2
Sejam
e
em
. Então
e aplicando
a essa soma, temos
Distribuindo a soma e agrupando termos,
Passo 3
Agora seja
e
. Então
e aplicando
ao vetor escalado,
Passo 4
Mostramos que
e
. Essas duas propriedades caracterizam uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.