Seja
uma transformação definida por
. Prove que
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
por
O conteúdo aqui é transformação linear em espaços vetoriais. Para provar que
é linear, vamos verificar as duas propriedades fundamentais:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Sejam
e
em
. Então
Aplicando
a
, obtemos
Reagrupando termos:
Logo,
.
Passo 3
Seja
e
. Então
Aplicando
a
, temos
Assim,
.
Passo 4
Uma outra forma rápida de ver a linearidade é observar que
Como toda aplicação dada por multiplicação por uma matriz fixa é linear, concluímos novamente que
é linear.
Resposta
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade,
é uma transformação linear.