Seja T: R^{2} \rightarrow R^{3} uma transformação definida por T(x, y)=(x+y, x-y, 2 y). Prove que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 por
T(x,y) = (\,x+y,\;x-y,\;2y\,).
O conteúdo aqui é transformação linear em espaços vetoriais. Para provar que T é linear, vamos verificar as duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 2

Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) em \mathbb{R}^2. Então
u+v = (\,x_1+x_2,\;y_1+y_2\,).
Aplicando T a u+v, obtemos
T(u+v) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;2(y_1+y_2)\bigr).
Reagrupando termos:
\bigl(x_1+y_1,\;x_1-y_1,\;2y_1\bigr) + \bigl(x_2+y_2,\;x_2-y_2,\;2y_2\bigr) = T(x_1,y_1) + T(x_2,y_2) = T(u) + T(v).
Logo, T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
c\,u = (\,c\,x,\;c\,y\,).
Aplicando T a c\,u, temos
T(c\,u) = T(c\,x,\;c\,y) = \bigl((c\,x)+(c\,y),\;(c\,x)-(c\,y),\;2(c\,y)\bigr) = c\,(x+y,\;x-y,\;2y) = c\,T(x,y) = c\,T(u).
Assim, T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 4

Uma outra forma rápida de ver a linearidade é observar que
T(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Como toda aplicação dada por multiplicação por uma matriz fixa é linear, concluímos novamente que T é linear.

Resposta

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, T é uma transformação linear.

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