Seja c um número real. Considere a sequência bn :
b1=c, bn+1=c^n+1-c^n, 1,2,3, cdots
Escreva os cinco primeiros termos da sequência de somas parciais Sn da série
sumn=1^infty bn=b1+b2+b3+cdots

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os cinco primeiros termos da sequência de somas parciais Sn da série sumn=1^infty bn, onde b1=c e, para todo n>=1, bn+1=c^n+1-c^n. O conteúdo é soma de uma série telescópica.

Passo 2

Escrevemos os primeiros termos de bn:
b1 = c, b2 = c^2 - c, b3 = c^3 - c^2, b4 = c^4 - c^3, b5 = c^5 - c^4

Passo 3

A soma parcial geral é Sn=sumk=1^n bk. Expandindo e observando que quase todos os termos se cancelam (efeito telescópico), temos:
Sn = c + (c^2 - c) + (c^3 - c^2) + dots + (c^n - c^n-1) = c^n

Passo 4

Logo, para os primeiros cinco termos, basta usar n=1,2,3,4,5.

Resposta

Os cinco primeiros termos são S1=c, S2=c^2, S3=c^3, S4=c^4 e S5=c^5.

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