Seja c um número real. Considere a sequência
:
Com base nos termos calculados no item (a), apresente a expressão de
, e decida para quais valores de
a série anterior converge.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a sequência definida por b₁ = c e b_{n+1} = c^{n+1} - c^n. O que a questão pede é a soma parcial S_n = ∑_{k=1}^n b_k e determinar para quais valores de c essa soma tende a um valor finito. O conteúdo aqui é soma telescópica de termos.
Passo 2
Calculamos alguns termos para enxergar o padrão: b₁ = c; b₂ = c² - c; b₃ = c³ - c²; b₄ = c⁴ - c³; … Observe que a partir de b₂ cada termo é uma diferença de potências de c, indicando que haverá cancelamentos quando somarmos.
Passo 3
Escrevemos a soma parcial de forma telescópica:
Ao expandir a soma, cada -c^k cancela com o +c^k do termo seguinte, sobrando apenas a última potência.
Passo 4
Após os cancelamentos, ficamos com:
Ou seja, a soma parcial é simplesmente c elevado a n.
Passo 5
Para estudar a convergência, analisamos o limite quando n → ∞:
Pela teoria de progressões geométricas, temos:
• Se |c| < 1, então c^n → 0.
• Se c = 1, então c^n = 1 para todo n.
• Se |c| > 1, c^n diverge em módulo.
• Se c = -1, c^n oscila entre ±1 e não converge.
• Se |c| < 1, então c^n → 0.
• Se c = 1, então c^n = 1 para todo n.
• Se |c| > 1, c^n diverge em módulo.
• Se c = -1, c^n oscila entre ±1 e não converge.
Passo 6
Conclusão: a série converge exatamente quando |c| < 1 (tendendo a 0) ou c = 1 (tendendo a 1). Nos demais casos não há convergência.
Resposta
S_n = c^n. A série converge se |c| < 1 ou c = 1.