(3,0) Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
A decomposição canônica em fatores primos de 5040 e 528 são, respectivamente,
e
. E o seu
e
são, respectivamente, 48 e 55440.
A decomposição canônica em fatores primos de 5040 e 528 são, respectivamente,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado afirma e quais são os itens que precisamos julgar (essas são as informações dadas no enunciado):
- Afirmação A: a decomposição canônica de
é . - Afirmação B: a decomposição canônica de
é . - Afirmação C:
. - Afirmação D:
.
O que o enunciado pede: para cada uma dessas afirmações (A, B, C, D) indicar verdadeiro (V) ou falso (F) e justificar.
Passo 2
Vamos fatorar
passo a passo para verificar a afirmação A. Método: dividir sucessivamente por primos (começando em
) até obter
.
Parámos de dividir por
porque
é ímpar. Contamos
divisões por
, então há
.
Agora dividimos por
:
Agora dividimos
Parou-se de dividir por
; foram
divisões por
, então há
.
Restou , e
. Assim a decomposição é
Restou
Portanto a afirmação A está correta.
Passo 3
Agora fatoramos
passo a passo para verificar a afirmação B. Novamente dividindo por
:
Parou-se porque
não é divisível por
. Foram
divisões por
, logo
.
Agora . Assim
Agora
Portanto a afirmação B também está correta.
Passo 4
Explicando como calcular
usando fatoração: se
onde o produto é sobre primos
e
são os expoentes (podendo ser zero), então
Aplicando aos nossos casos: para cada primo relevante temos os expoentes
- para
: em e em , ; - para
: e , ; - para
: e , ; - para
: ; - para
: .
Portanto
Isto confirma a afirmação C.
Passo 5
Explicando como calcular
usando fatoração: com a mesma notação,
Usando os expoentes já listados:
-
para é ; -
para é ; -
para é ; -
para é ; -
para é .
Logo
Note que
, e
não aparece em
, então a
é simplesmente
multiplicado por
:
Calculemos:
Portanto a afirmação D também está correta.
Resposta
A: V
B: V
C: V
D: V
B: V
C: V
D: V