(3,0) Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
A decomposição canônica em fatores primos de 5040 e 528 são, respectivamente, 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 e 2^{4} \cdot 3 \cdot 11. E o seu m d c(5040,528) e m m c(5040,528) são, respectivamente, 48 e 55440.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado afirma e quais são os itens que precisamos julgar (essas são as informações dadas no enunciado):
  • Afirmação A: a decomposição canônica de 5040 é \,2^{4}\cdot3^{2}\cdot5\cdot7.
  • Afirmação B: a decomposição canônica de 528 é \,2^{4}\cdot3\cdot11.
  • Afirmação C: \gcd(5040,528)=48.
  • Afirmação D: \operatorname{lcm}(5040,528)=55440.
O que o enunciado pede: para cada uma dessas afirmações (A, B, C, D) indicar verdadeiro (V) ou falso (F) e justificar.

Passo 2

Vamos fatorar 5040 passo a passo para verificar a afirmação A. Método: dividir sucessivamente por primos (começando em 2) até obter 1.
5040\div 2 = 2520
2520\div 2 = 1260
1260\div 2 = 630
630\div 2 = 315
Parámos de dividir por 2 porque 315 é ímpar. Contamos 4 divisões por 2, então há 2^4.
Agora dividimos 315 por 3:
315\div 3 = 105
105\div 3 = 35
Parou-se de dividir por 3; foram 2 divisões por 3, então há 3^2.
Restou 35, e 35=5\cdot7. Assim a decomposição é
5040 = 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7.
Portanto a afirmação A está correta.

Passo 3

Agora fatoramos 528 passo a passo para verificar a afirmação B. Novamente dividindo por 2:
528\div 2 = 264
264\div 2 = 132
132\div 2 = 66
66\div 2 = 33
Parou-se porque 33 não é divisível por 2. Foram 4 divisões por 2, logo 2^4.
Agora 33=3\cdot 11. Assim
528 = 2^{4}\cdot 3\cdot 11.
Portanto a afirmação B também está correta.

Passo 4

Explicando como calcular \gcd usando fatoração: se
a=\prod_{p} p^{\alpha_p},\qquad b=\prod_{p} p^{\beta_p},
onde o produto é sobre primos p e \alpha_p,\beta_p são os expoentes (podendo ser zero), então
\gcd(a,b)=\prod_{p} p^{\min(\alpha_p,\beta_p)}.
Aplicando aos nossos casos: para cada primo relevante temos os expoentes
  • para p=2: \alpha_2=4 em 5040 e \beta_2=4 em 528, \min(4,4)=4;
  • para p=3: \alpha_3=2 e \beta_3=1, \min(2,1)=1;
  • para p=5: \alpha_5=1 e \beta_5=0, \min(1,0)=0;
  • para p=7: \min(1,0)=0;
  • para p=11: \min(0,1)=0.
Portanto
\gcd(5040,528)=2^{4}\cdot 3^{1}=16\cdot 3=48.
Isto confirma a afirmação C.

Passo 5

Explicando como calcular \operatorname{lcm} usando fatoração: com a mesma notação,
\operatorname{lcm}(a,b)=\prod_{p} p^{\max(\alpha_p,\beta_p)}.
Usando os expoentes já listados:
  • \max para 2 é 4;
  • \max para 3 é 2;
  • \max para 5 é 1;
  • \max para 7 é 1;
  • \max para 11 é 1.
Logo
\operatorname{lcm}(5040,528)=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11.
Note que 5040=2^{4}\cdot3^{2}\cdot5\cdot7, e 11 não aparece em 5040, então a \operatorname{lcm} é simplesmente 5040 multiplicado por 11:
\operatorname{lcm}(5040,528)=5040\cdot 11.
Calculemos:
5040\cdot 11 = 5040\cdot(10+1)=50400+5040=55440.
Portanto a afirmação D também está correta.

Resposta

A: V
B: V
C: V
D: V

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