(3,0) Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
13^{2} \cdot 5 \equiv 2(\bmod 3).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando:
13^{2}\cdot 5 \equiv 2 \pmod{3}.
Informações dadas: apenas essa congruência a ser avaliada.

Passo 2

Entender o que a notação significa. A congruência
a \equiv b \pmod{n}
quer dizer que n divide a diferença a-b; isto é, existe um inteiro k tal que
a-b = k\cdot n.
Outra forma equivalente é dizer que a e b deixam o mesmo resto na divisão por n.

Passo 3

Uma propriedade muito útil de congruências (que vamos usar) é: se
a\equiv a'\pmod{n} \qquad\text{e}\qquad b\equiv b'\pmod{n},
então
a\cdot b \equiv a'\cdot b' \pmod{n}.
Ou seja, pode-se reduzir fatores módulo n antes de multiplicar — isso simplifica muito os cálculos.

Passo 4

Reduzir o número 13 módulo 3. Fazer a divisão inteira:
13 = 3\cdot 4 + 1,
logo
13 \equiv 1 \pmod{3}.

Passo 5

Elevar ao quadrado a congruência do passo anterior, usando a propriedade do passo 3:
13^{2} \equiv 1^{2} \pmod{3},
portanto
13^{2} \equiv 1 \pmod{3}.

Passo 6

Multiplicar pelo 5. Pela mesma propriedade:
13^{2}\cdot 5 \equiv 1\cdot 5 \pmod{3},
ou seja
13^{2}\cdot 5 \equiv 5 \pmod{3}.
Agora reduzir 5 módulo 3:
5 = 3\cdot 1 + 2 \quad\Rightarrow\quad 5 \equiv 2 \pmod{3}.

Passo 7

Combinando os resultados:
13^{2}\cdot 5 \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3},
portanto a congruência dada é verdadeira. (Se quiser checar numericamente: 13^{2}\cdot5=169\cdot5=845 e 845-2=843=3\cdot281, mostra que a diferença é múltipla de 3.)

Resposta

V

Exercícios relacionados