(3,0) Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando:
Informações dadas: apenas essa congruência a ser avaliada.
Passo 2
Entender o que a notação significa. A congruência
quer dizer que
divide a diferença
; isto é, existe um inteiro
tal que
Outra forma equivalente é dizer que
e
deixam o mesmo resto na divisão por
.
Passo 3
Uma propriedade muito útil de congruências (que vamos usar) é: se
então
Ou seja, pode-se reduzir fatores módulo
antes de multiplicar — isso simplifica muito os cálculos.
Passo 4
Reduzir o número
módulo
. Fazer a divisão inteira:
logo
Passo 5
Elevar ao quadrado a congruência do passo anterior, usando a propriedade do passo 3:
portanto
Passo 6
Multiplicar pelo
. Pela mesma propriedade:
ou seja
Agora reduzir
módulo
:
Passo 7
Combinando os resultados:
portanto a congruência dada é verdadeira. (Se quiser checar numericamente:
e
, mostra que a diferença é múltipla de
.)
Resposta
V