1- Em uma indústria alimentícia, um alimento líquido, a 72^{\circ} \mathrm{C} é transportado com uma vazão mássica de 324000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} em uma tubulação de aço comercial com 5 polegadas de diâmetro interno e 20 m de comprimento. O fluido alimentício, nessa temperatura, apresenta densidade de 900,00 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e comportamento reológico pseudoplástico, sem tensão de cisalhamento inicial, com índice de consistência igual a 0,5 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}^{\mathrm{n}} \cdot e indice de comportamento igual a \underline{0,5}. Determine a perda de carga ao longo do escoamento. Qual a potência da bomba para uma queda de pressão na tubulação de 900 kPa ? Caso - fluido fosse newtoniano(admitir a viscosidade dinâmica igual a 0,2 \mathrm{~Pa} . \mathrm{s} \mathrm{e} \mathrm{n}=1 ) qual seria a potência da bomba?

Passo 1

O enunciado pede primeiro a perda de carga (queda de pressão) ao longo de 20 m de tubulação de diâmetro interno de 5 ″ (0,127 m) para um fluido pseudoplástico com
– massa mássica \dot m =324000,kg/h
– densidade \rho=900,kg/m³
– índice de consistência k=0,5,Pa·sⁿ
– índice de comportamento n=0,5
Depois, quer a potência da bomba necessária para vencer uma queda de pressão arbitrária de 900 kPa, e compara com o caso de fluido newtoniano \mu=0{,}2,Pa·s ( n=1).
Conteúdos usados: cálculo de Q, velocidade média V, viscosidade efetiva para fluido power-law, número de Reynolds generalizado, correlação de Blasius estendida e P=\Delta p\,Q.

Passo 2

Calcular vazão volumétrica e velocidade média:
\dot m =324000~\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm h} = \frac{324000}{3600}~\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s} =90~\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s}
Q=\frac{\dot m}{\rho} =\frac{90}{900} =0{,}10~\mathrm{m}^3/\mathrm s
área da seção
A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0{,}127)^2}{4} \approx0{,}01267~\mathrm m^2
V=\frac{Q}{A} \approx\frac{0{,}10}{0{,}01267} \approx7{,}89~\mathrm{m/s}

Passo 3

Para fluido power-law calcula-se a taxa de cisalhamento na parede
\dot\gamma_w =\frac{3n+1}{4n}\,\frac{8V}{D} \quad\Rightarrow\quad \dot\gamma_w =\frac{3\cdot0{,}5+1}{4\cdot0{,}5}\,\frac{8\cdot7{,}89}{0{,}127} =1{,}25\;\frac{63{,}12}{0{,}127} \approx621~\mathrm{s}^{-1}
e a viscosidade efetiva
\mu_e = k\;\dot\gamma_w^{\,n-1} =0{,}5\;(621)^{-0,5} \approx0{,}0201~\mathrm{Pa\cdot s}

Passo 4

Número de Reynolds generalizado do power-law (Metzner–Reed) para regime
Re_{\rm MR} =\frac{\rho V D}{\mu_e} =\frac{900\cdot7{,}89\cdot0{,}127}{0{,}0201} \approx4,5\times10^4
Como Re_{\rm MR}\gg3000, estamos em turbulência.

Passo 5

Usa-se correlação de Blasius estendida para power-law
f =0,079\;Re_{\rm MR}^{-0,25} =0,079\;(4{,}5\times10^4)^{-0,25} \approx7{,}2\times10^{-3}
e perda de carga
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^2}{2} =7{,}2\times10^{-3}\;\frac{20}{0{,}127}\;\frac{900\,(7{,}89)^2}{2} \approx3,19\times10^4~\mathrm{Pa}
ou seja
\Delta p\approx32~\mathrm{kPa}

Passo 6

Potência da bomba para vencer uma queda de pressão de 900 kPa
P =\Delta p_{\rm bomba}\;\times Q =900\times10^3\;\mathrm{Pa}\;\times0{,}10\;\mathrm{m^3/s} =9,0\times10^4\;\mathrm W =90\;\mathrm{kW}

Passo 7

Caso o fluido fosse newtoniano ( \mu=0{,}2,Pa·s, n=1), a vazão e a queda de pressão da bomba não mudam a relação P=\Delta p\,Q. Logo
P_{\rm newt} =900\times10^3\;\mathrm{Pa}\;\times0{,}10\;\mathrm{m^3/s} =90\;\mathrm{kW}.

Resposta

Perda de carga para o fluido pseudoplástico: \displaystyle\Delta p\approx32,kPa.
Potência da bomba para \Delta p=900,kPa: 90 kW (tanto no caso pseudoplástico quanto no newtoniano).

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