Uma indústria alimentícia de Limeira alega que o peso médio de sua caixa de bombons é igual a 204 gramas. É sabido que o desvio padrão desse processo de produção é de 23 gramas. Estudantes da FCA gostariam de verificar se a alegação da indústria é plausível. Eles conduziram um teste de hipótese unilateral cuja hipótese nula corresponde à alegação da empresa, e a hipótese alternativa é que o peso médio é inferior à alegação da empresa. Para tanto, foram compradas 36 caixas de bombons.
(a) Considerando um nível de significância de 3 %, para quais valores de média amostral das 36 caixas a hipótese nula não seria rejeitada?
(b) Após calcular a média amostral das 36 caixas, foi obtido um valor de 205 gramas. Calcule o valor p associado a essa situação. Para quais valores de significância a hipótese nula considerada seria rejeitada? A alegação da empresa se sustenta do ponto de vista estatístico? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
\mu_0=204 g (alegação da indústria), \sigma=23 g (desvio padrão conhecido), n=36 (tamanho da amostra). Foi realizada uma prova unilateral com hipótese nula igual à alegação da empresa e hipótese alternativa de que o peso médio é inferior à alegação da empresa.
Perguntas:
(a) Para um nível de significância \alpha=0{,}03, para quais valores de média amostral \bar{x} das 36 caixas a hipótese nula não seria rejeitada?
(b) Dado que a média amostral observada é \bar{x}=205 g: calcule o valor-p associado; para quais valores de significância \alpha a hipótese nula seria rejeitada; e, comente se a alegação da empresa se sustenta estatisticamente.

Passo 2

Qual é o procedimento que vamos aplicar (explicação das fórmulas que usaremos).
Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e queremos testar a média, usamos a estatística padronizada (variável Z) definida por
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{X} é a média amostral (o valor que obtemos da amostra);
  • \mu_0 é o valor sob a hipótese nula (aqui 204 g);
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui 23 g);
  • n é o tamanho da amostra (aqui 36);
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade da média amostral).
    Sob a hipótese nula, Z segue aproximadamente uma distribuição normal padrão N(0,1). Para um teste unilateral à esquerda (hipótese alternativa \mu<\mu_0), a região de rejeição é
\{ \bar{x} : Z< z_\alpha \},
onde z_\alpha é o quantil tal que P(Z<z_\alpha)=\alpha para Z\sim N(0,1). Para obter o limite em termos de \bar{x} isolamos \bar{x} na expressão de Z:
\bar{x}_{\text{crit}}=\mu_0 + z_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Se \bar{x}<\bar{x}_{\text{crit}} rejeitamos H_0; caso contrário, não rejeitamos H_0.

Passo 3

Cálculo do erro padrão da média (passo numérico detalhado).
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{23}{\sqrt{36}}=\frac{23}{6}=3{,}833333\ldots\\ \text{g}.
Vou usar 3{,}83333 g nas contas para manter precisão suficiente sem ficar com muitos dígitos.

Passo 4

Encontrar o valor crítico z_\alpha para \alpha=0{,}03 (explicando como se obtém).
Para um teste à esquerda queremos z_\alpha tal que P(Z<z_\alpha)=0{,}03. Usando a tabela da normal padrão ou calculadora de quantis, obtemos
z_{0{,}03}\approx -1{,}8808.
Interpretação rápida: isto significa que somente 3\% da massa da normal padrão fica à esquerda desse valor.

Passo 5

Calcular o ponto crítico em termos de \bar{x} (aplicando a fórmula do Passo 2).
\bar{x}_{\text{crit}}=\mu_0 + z_{0{,}03}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =204 + (-1{,}8808)\cdot 3{,}83333.
Agora a multiplicação:
(-1{,}8808)\cdot 3{,}83333 \approx -7{,}2097.
Portanto
\bar{x}_{\text{crit}}\approx 204 - 7{,}2097 = 196{,}7903\\ \text{g}.
Arredondando comumente para duas casas decimais, \bar{x}_{\text{crit}}\approx 196{,}79 g.

Passo 6

Interpretando o resultado do item (a).
A regra do teste: rejeitar H_0 se \bar{x}<\bar{x}_{\text{crit}}. Assim, para \alpha=0{,}03 não rejeitamos H_0 sempre que
\bar{x}\ge 196{,}79\\ \text{g}.
Ou seja, somente médias amostrais menores que aproximadamente 196{,}79 g fariam rejeitar a alegação da indústria ao nível de 3\%. (Isto responde a parte (a).)

Passo 7

Agora tratamos o item (b): cálculo da estatística observada para \bar{x}=205 g.
Compute a estatística Z:
Z_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac{205-204}{3{,}83333}=\frac{1}{3{,}83333}\approx 0{,}26087.
Portanto Z_{\text{obs}}\approx 0{,}2609.

Passo 8

Cálculo do valor-p (explicando o que é e como se obtém).
Para um teste unilateral à esquerda (alternativa \mu<\mu_0) o valor-p é a probabilidade de obtermos uma estatística Z tão pequena quanto a observada, isto é
\text{valor-p}=P(Z\le Z_{\text{obs}})=\Phi(Z_{\text{obs}}),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão. Como Z_{\text{obs}}\approx 0{,}26087, usando tabela ou calculadora:
\text{valor-p}=\Phi(0{,}26087)\approx 0{,}603.
Interpretação: se a hipótese nula fosse verdadeira, a probabilidade de obtermos uma média que produza uma estatística Z menor ou igual a 0{,}2609 é cerca de 60{,}3\%. Isso é um p-valor muito grande — não há evidência contra H_0.

Passo 9

Para quais níveis de significância \alpha a hipótese nula seria rejeitada neste caso?
Regra geral: rejeita-se H_0 se \text{valor-p}\le \alpha. Aqui \text{valor-p}\approx 0{,}603. Logo, rejeitaríamos H_0 somente se
\alpha \ge 0{,}603\\ (\text{ou seja, }60{,}3\%).
Isso é absurdamente alto comparado aos níveis usuais ( 10\%, 5\%, 1\%). Portanto, para quaisquer níveis de significância usuais (por exemplo \alpha=0{,}10,0{,}05,0{,}01), não rejeitamos H_0.

Passo 10

Conclusão final sobre a alegação da empresa (interpretação prática e incentivo).
Como a média amostral observada ( 205 g) é maior que a alegação ( 204 g) e o valor-p é grande ( \approx 0{,}603), não há evidência estatística para concluir que o peso médio seja inferior ao alegado. Em termos práticos: com os dados coletados a alegação da indústria se sustenta do ponto de vista estatístico (não rejeitamos H_0 para níveis de significância usuais). Bom trabalho — mesmo parecendo complicado, seguir os passos e interpretar o valor-p ajuda muito na prova!

Resposta

(a) Não rejeita H_0 para \bar{x}\ge 196{,}79\\ \text{g}.
(b) \text{valor-p}\approx 0{,}603. Rejeitar-se-ia H_0 apenas para \alpha\ge 0{,}603. Conclusão: a alegação da empresa se sustenta estatisticamente (não é rejeitada para níveis usuais).

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