Uma indústria alimentícia de Limeira alega que o peso médio de sua caixa de bombons é igual a 204 gramas. É sabido que o desvio padrão desse processo de produção é de 23 gramas. Estudantes da FCA gostariam de verificar se a alegação da indústria é plausível. Eles conduziram um teste de hipótese unilateral cuja hipótese nula corresponde à alegação da empresa, e a hipótese alternativa é que o peso médio é inferior à alegação da empresa. Para tanto, foram compradas 36 caixas de bombons.
(a) Considerando um nível de significância de
, para quais valores de média amostral das 36 caixas a hipótese nula não seria rejeitada?
(b) Após calcular a média amostral das 36 caixas, foi obtido um valor de 205 gramas. Calcule o valor p associado a essa situação. Para quais valores de significância a hipótese nula considerada seria rejeitada? A alegação da empresa se sustenta do ponto de vista estatístico? Justifique.
(a) Considerando um nível de significância de
(b) Após calcular a média amostral das 36 caixas, foi obtido um valor de 205 gramas. Calcule o valor p associado a essa situação. Para quais valores de significância a hipótese nula considerada seria rejeitada? A alegação da empresa se sustenta do ponto de vista estatístico? Justifique.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
g (alegação da indústria),
g (desvio padrão conhecido),
(tamanho da amostra). Foi realizada uma prova unilateral com hipótese nula igual à alegação da empresa e hipótese alternativa de que o peso médio é inferior à alegação da empresa.
Perguntas:
(a) Para um nível de significância , para quais valores de média amostral
das
caixas a hipótese nula não seria rejeitada?
(b) Dado que a média amostral observada é g: calcule o valor-p associado; para quais valores de significância
a hipótese nula seria rejeitada; e, comente se a alegação da empresa se sustenta estatisticamente.
(a) Para um nível de significância
(b) Dado que a média amostral observada é
Passo 2
Qual é o procedimento que vamos aplicar (explicação das fórmulas que usaremos).
Quando o desvio padrão populacional é conhecido e queremos testar a média, usamos a estatística padronizada (variável
) definida por
Quando o desvio padrão populacional
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (o valor que obtemos da amostra); -
é o valor sob a hipótese nula (aqui g); -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui g); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade da média amostral).
Sob a hipótese nula,segue aproximadamente uma distribuição normal padrão . Para um teste unilateral à esquerda (hipótese alternativa ), a região de rejeição é
onde
é o quantil tal que
para
. Para obter o limite em termos de
isolamos
na expressão de
:
Se
rejeitamos
; caso contrário, não rejeitamos
.
Passo 3
Cálculo do erro padrão da média (passo numérico detalhado).
Vou usar
g nas contas para manter precisão suficiente sem ficar com muitos dígitos.
Passo 4
Encontrar o valor crítico
para
(explicando como se obtém).
Para um teste à esquerda queremos tal que
. Usando a tabela da normal padrão ou calculadora de quantis, obtemos
Para um teste à esquerda queremos
Interpretação rápida: isto significa que somente
da massa da normal padrão fica à esquerda desse valor.
Passo 5
Calcular o ponto crítico em termos de
(aplicando a fórmula do Passo 2).
Agora a multiplicação:
Portanto
Arredondando comumente para duas casas decimais,
g.
Passo 6
Interpretando o resultado do item (a).
A regra do teste: rejeitar se
. Assim, para
não rejeitamos
sempre que
A regra do teste: rejeitar
Ou seja, somente médias amostrais menores que aproximadamente
g fariam rejeitar a alegação da indústria ao nível de
. (Isto responde a parte (a).)
Passo 7
Agora tratamos o item (b): cálculo da estatística observada para
g.
Compute a estatística :
Compute a estatística
Portanto
.
Passo 8
Cálculo do valor-p (explicando o que é e como se obtém).
Para um teste unilateral à esquerda (alternativa ) o valor-p é a probabilidade de obtermos uma estatística
tão pequena quanto a observada, isto é
Para um teste unilateral à esquerda (alternativa
onde
é a função de distribuição da normal padrão. Como
, usando tabela ou calculadora:
Interpretação: se a hipótese nula fosse verdadeira, a probabilidade de obtermos uma média que produza uma estatística
menor ou igual a
é cerca de
. Isso é um p-valor muito grande — não há evidência contra
.
Passo 9
Para quais níveis de significância
a hipótese nula seria rejeitada neste caso?
Regra geral: rejeita-se se
. Aqui
. Logo, rejeitaríamos
somente se
Regra geral: rejeita-se
Isso é absurdamente alto comparado aos níveis usuais (
,
,
). Portanto, para quaisquer níveis de significância usuais (por exemplo
), não rejeitamos
.
Passo 10
Conclusão final sobre a alegação da empresa (interpretação prática e incentivo).
Como a média amostral observada ( g) é maior que a alegação (
g) e o valor-p é grande (
), não há evidência estatística para concluir que o peso médio seja inferior ao alegado. Em termos práticos: com os dados coletados a alegação da indústria se sustenta do ponto de vista estatístico (não rejeitamos
para níveis de significância usuais). Bom trabalho — mesmo parecendo complicado, seguir os passos e interpretar o valor-p ajuda muito na prova!
Como a média amostral observada (
Resposta
(a) Não rejeita
para
(b) Rejeitar-se-ia
apenas para
. Conclusão: a alegação da empresa se sustenta estatisticamente (não é rejeitada para níveis usuais).
(b)