Um novo tratamento médico para uma determinada doença foi desenvolvido. Deseja-se estudar se, como efeito colateral, esse novo tratamento pode alterar o nível glicêmico observado historicamente no grupo de risco dessa doença, dado por 114 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}. Após aplicação do tratamento em 46 pessoas escolhidas ao caso na população dada por esse grupo
de risco, observou-se um nível glicêmico médio de 119 \mathrm{mg} / \mathrm{dL} nessas amostras. É sabido ainda que o desvio populacional neste caso é conhecido e é dado por 21 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}. Diante disso:
(a) Considerando um teste de hipótese bilateral para média, no qual a hipótese nula é que o tratamento não altera o nível glicêmico historicamente observado, calcule o valor-p associado ao experimento realizando.
(b) Para quais níveis de significância a hipótese nula seria rejeitada?
(c) Comente sobre a plausibilidade estatística da hipótese nula.

Passo 1

O enunciado pede avaliar se o novo tratamento altera o nível glicêmico histórico. Precisamos responder três coisas: (a) calcular o valor-p de um teste bilateral para a média; (b) dizer para quais níveis de significância a hipótese nula seria rejeitada; (c) comentar a plausibilidade estatística da hipótese nula.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{média histórica (hipótese nula): }\mu_0=114\\ \mathrm{mg/dL},\\\ &\text{média amostral: }\bar X=119\\ \mathrm{mg/dL},\\\ &\text{tamanho da amostra: }n=46,\\\ &\text{desvio populacional conhecido: }\sigma=21\\ \mathrm{mg/dL},\\\ &\text{o teste é bilateral (}\,H_0:\mu=\mu_0\\ \text{ vs }\\ H_1:\mu\neq\mu_0\,\text{).} \end{aligned}éóóéé

Passo 2

Escolha do método e fórmula do teste (explicação didática, sem pular etapas). Como o desvio populacional \sigma é conhecido, a forma correta é usar o teste z para a média. A estatística de teste z mede quantos erros-padrão a média amostral está distante da média sob H_0. A fórmula é:
Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicando cada termo:
  • \bar X é a média observada na amostra (aqui (,119,$).
  • \mu_0 é a média sob a hipótese nula (aqui (,114,$).
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui (,21,$).
  • \sqrt{n} aparece porque o desvio da média amostral (erro-padrão) é \sigma/\sqrt{n} — isso vem do fato de que a variância da média amostral é \sigma^2/n. Para testes bilaterais, o valor-p é
p = 2\big(1-\Phi(|Z|)\big),
onde \Phi é a função de distribuição cumulativa da Normal padrão.)

Passo 3

Calcular o erro-padrão (passo a passo numérico). Primeiro calcule \sqrt{n} e depois o erro-padrão:
\sqrt{n}=\sqrt{46}\approx 6,78233,
\text{erro-padrão }SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{21}{\sqrt{46}}\approx 3,096.ã
Interpretação rápida: em média, a média amostral varia cerca de \,3{,}096\\ \mathrm{mg/dL} ao redor da verdadeira média por causa da variação amostral.

Passo 4

Calcular a estatística Z passo a passo. A diferença observada entre médias é \bar X-\mu_0=119-114=5. Agora:
Z=\frac{5}{3{,}096}\approx 1{,}6148.
Interpretação: a média amostral está cerca de 1{,}615 erros-padrão acima da média histórica.

Passo 5

Calcular o valor-p usando a propriedade da normal padrão. Para teste bilateral:
p = 2\big(1-\Phi(|Z|)\big).
Com |Z|\approx 1{,}6148 consultamos a tabela da Normal padrão (ou calculadora) e obtemos
\Phi(1{,}6148)\approx 0{,}94682,
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1-\Phi(1{,}6148)\approx 0{,}05318,
p \approx 2\times 0{,}05318 \approx 0{,}10636.
Arredondando de forma prática, podemos dizer p\approx 0{,}106 (ou, com quatro casas, p\approx 0{,}1064). Em palavras: o valor-p é cerca de 10{,}6\%.

Passo 6

Para quais níveis de significância rejeitar H_0. Regra: rejeita-se H_0 quando p\le \alpha. Como p\approx 0{,}10636, concluímos:
  • H_0 seria rejeitada somente para níveis de significância \alpha tais que \alpha \ge 0{,}10636 (ou seja, para \alpha maiores ou iguais a cerca de 10{,}64\%).
  • Em particular, para os níveis usuais \alpha=0{,}05 e \alpha=0{,}01 não rejeitamos H_0. Para \alpha=0{,}10 também não rejeitamos porque 0{,}10<p (é bem próximo, mas ainda não alcança).

Passo 7

Comentário sobre plausibilidade estatística da hipótese nula (interpretação prática e adicional). Pontos importantes e didáticos:
  1. Evidência estatística: o p-valor de aproximadamente 0{,}106 indica evidência fraca contra H_0. Não é forte o suficiente para declarar, com os níveis usuais, que o tratamento altera o nível glicêmico.
  2. Intervalo de confiança (cheque rápido): um intervalo de confiança de 95\% para a média é
\bar X \pm z_{0{,}975}\,SE = 119 \pm 1{,}96\times 3{,}096 \approx 119 \pm 6{,}065,
ou seja aproximadamente [112{,}935,\\\ 125{,}065]. Note que 114 (a média histórica) está dentro desse intervalo, o que reforça que a diferença observada pode ser apenas variação amostral.
3. Tamanho do efeito: a diferença absoluta observada é 5\\ \mathrm{mg/dL}. Em termos padronizados,
\text{efeito padronizado}=\frac{5}{21}\approx 0{,}238,
o que é um efeito pequeno. Pequenos efeitos exigem amostras maiores para serem detectados com significância. Por exemplo, para detectar essa diferença de 5 com \alpha=0{,}05 e usando o mesmo \sigma seria necessário aproximadamente
n\approx\left(\frac{\sigma\cdot z_{0{,}975}}{5}\right)^2=\left(\frac{21\cdot 1{,}96}{5}\right)^2\approx 68
indivíduos (ou seja, precisaríamos de algo como n\approx 68 em vez de 46).
4. Conclusão prática: com a amostra atual há indícios fracos de aumento, mas não é evidência suficiente para afirmar que o tratamento altera o nível glicêmico nos níveis de significância habituais. Se for importante detectar uma diferença pequena como essa, recomenda-se aumentar o tamanho da amostra para obter maior poder do teste.

Resposta

(a) p\approx 0{,}1064.
(b) A hipótese nula seria rejeitada somente para níveis de significância \alpha\ge 0{,}10636 (ou seja, para \alpha maiores que aproximadamente 10{,}64\%). Para \alpha=0{,}05 ou \alpha=0{,}01 (e também \alpha=0{,}10) não rejeitamos H_0.
(c) Há evidência fraca contra H_0; o efeito observado é pequeno ( \approx0{,}238 em unidades padronizadas) e o intervalo de 95\% inclui 114, então é plausível que não haja alteração verdadeira com a amostra atual — seriam necessárias mais observações para detectar com confiança uma mudança tão pequena.

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