Um novo tratamento médico para uma determinada doença foi desenvolvido. Deseja-se estudar se, como efeito colateral, esse novo tratamento pode alterar o nível glicêmico observado historicamente no grupo de risco dessa doença, dado por
. Após aplicação do tratamento em 46 pessoas escolhidas ao caso na população dada por esse grupo
de risco, observou-se um nível glicêmico médio de
nessas amostras. É sabido ainda que o desvio populacional neste caso é conhecido e é dado por
. Diante disso:
(a) Considerando um teste de hipótese bilateral para média, no qual a hipótese nula é que o tratamento não altera o nível glicêmico historicamente observado, calcule o valor-p associado ao experimento realizando.
(b) Para quais níveis de significância a hipótese nula seria rejeitada?
(c) Comente sobre a plausibilidade estatística da hipótese nula.
de risco, observou-se um nível glicêmico médio de
(a) Considerando um teste de hipótese bilateral para média, no qual a hipótese nula é que o tratamento não altera o nível glicêmico historicamente observado, calcule o valor-p associado ao experimento realizando.
(b) Para quais níveis de significância a hipótese nula seria rejeitada?
(c) Comente sobre a plausibilidade estatística da hipótese nula.
Passo 1
O enunciado pede avaliar se o novo tratamento altera o nível glicêmico histórico. Precisamos responder três coisas: (a) calcular o valor-p de um teste bilateral para a média; (b) dizer para quais níveis de significância a hipótese nula seria rejeitada; (c) comentar a plausibilidade estatística da hipótese nula.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Passo 2
Escolha do método e fórmula do teste (explicação didática, sem pular etapas). Como o desvio populacional
é conhecido, a forma correta é usar o teste z para a média. A estatística de teste z mede quantos erros-padrão a média amostral está distante da média sob
. A fórmula é:
Explicando cada termo:
-
é a média observada na amostra (aqui (,119,$). -
é a média sob a hipótese nula (aqui (,114,$). -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui (,21,$). -
aparece porque o desvio da média amostral (erro-padrão) é — isso vem do fato de que a variância da média amostral é . Para testes bilaterais, o valor-p é
onde
é a função de distribuição cumulativa da Normal padrão.)
Passo 3
Calcular o erro-padrão (passo a passo numérico). Primeiro calcule
e depois o erro-padrão:
Interpretação rápida: em média, a média amostral varia cerca de
ao redor da verdadeira média por causa da variação amostral.
Passo 4
Calcular a estatística
passo a passo. A diferença observada entre médias é
. Agora:
Interpretação: a média amostral está cerca de
erros-padrão acima da média histórica.
Passo 5
Calcular o valor-p usando a propriedade da normal padrão. Para teste bilateral:
Com
consultamos a tabela da Normal padrão (ou calculadora) e obtemos
logo
Arredondando de forma prática, podemos dizer
(ou, com quatro casas,
). Em palavras: o valor-p é cerca de
.
Passo 6
Para quais níveis de significância rejeitar
. Regra: rejeita-se
quando
. Como
, concluímos:
-
seria rejeitada somente para níveis de significância tais que (ou seja, para maiores ou iguais a cerca de ). - Em particular, para os níveis usuais
e não rejeitamos . Para também não rejeitamos porque (é bem próximo, mas ainda não alcança).
Passo 7
Comentário sobre plausibilidade estatística da hipótese nula (interpretação prática e adicional). Pontos importantes e didáticos:
- Evidência estatística: o
-valor de aproximadamente indica evidência fraca contra . Não é forte o suficiente para declarar, com os níveis usuais, que o tratamento altera o nível glicêmico. - Intervalo de confiança (cheque rápido): um intervalo de confiança de
para a média é
ou seja aproximadamente
. Note que
(a média histórica) está dentro desse intervalo, o que reforça que a diferença observada pode ser apenas variação amostral.
3. Tamanho do efeito: a diferença absoluta observada é . Em termos padronizados,
3. Tamanho do efeito: a diferença absoluta observada é
o que é um efeito pequeno. Pequenos efeitos exigem amostras maiores para serem detectados com significância. Por exemplo, para detectar essa diferença de
com
e usando o mesmo
seria necessário aproximadamente
indivíduos (ou seja, precisaríamos de algo como
em vez de
).
4. Conclusão prática: com a amostra atual há indícios fracos de aumento, mas não é evidência suficiente para afirmar que o tratamento altera o nível glicêmico nos níveis de significância habituais. Se for importante detectar uma diferença pequena como essa, recomenda-se aumentar o tamanho da amostra para obter maior poder do teste.
4. Conclusão prática: com a amostra atual há indícios fracos de aumento, mas não é evidência suficiente para afirmar que o tratamento altera o nível glicêmico nos níveis de significância habituais. Se for importante detectar uma diferença pequena como essa, recomenda-se aumentar o tamanho da amostra para obter maior poder do teste.
Resposta
(a)
(b) A hipótese nula seria rejeitada somente para níveis de significância (ou seja, para
maiores que aproximadamente
). Para
ou
(e também
) não rejeitamos
.
(c) Há evidência fraca contra ; o efeito observado é pequeno (
em unidades padronizadas) e o intervalo de
inclui
, então é plausível que não haja alteração verdadeira com a amostra atual — seriam necessárias mais observações para detectar com confiança uma mudança tão pequena.
(b) A hipótese nula seria rejeitada somente para níveis de significância
(c) Há evidência fraca contra