Com o intuito de realizar o seu planejamento para os próximos 5 anos, uma construtora gostaria de realizar uma pesquisa de mercado na qual o objetivo é estimar a proporção de pessoas na região de Limeira que pretendem adquirir um imóvel nos próximos cinco anos. Considerando um nível de confiança de 92 % :
(a) Determine o número mínimo de amostras necessárias para garantir uma estimação intervalar com margem de erro de no máximo 2 %.
(b) Considere agora uma situação na qual 600 pessoas (num total de 3000 ) disseram que pretendem adquirir um imóvel nos próximos 5 anos. Determine um intervalo de confiança para tal estimação e sua respectiva margem de erro.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece os seguintes dados:
  • Nível de confiança: 92\%.
  • (a) Determinar o número mínimo de amostras necessárias para que a margem de erro seja no máximo 2\%.
  • (b) Situação em que 600 pessoas (num total de 3000) disseram que pretendem adquirir um imóvel nos próximos 5 anos. Com base nisso, determinar um intervalo de confiança para a proporção e a respectiva margem de erro.
Dados extraídos do enunciado (relevantes para a resolução):
  • nível de confiança \,=92\%,
  • margem de erro desejada em (a): \,E=0,02,
  • no item (b): número de respostas positivas =600 e tamanho da amostra =3000 (portanto a estimativa pontual será \hat p = 600/3000).

Passo 2

Entendendo o que é nível de confiança e como obter o valor crítico z.
  • O nível de confiança 92\% significa que \alpha = 1-0,92 = 0,08. Em um intervalo de confiança bilateral usamos \alpha/2 = 0,04.
  • O valor crítico z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à esquerda é 1-\alpha/2 = 0,96.
  • Vamos anotar esse valor como
z = z_{0{,}96}.
  • Consultando tabela da Normal padrão (ou usando calculadora estatística), obtemos aproximadamente
z_{0{,}96} \approx 1{,}7507.
Breve intuição didática: esse z é “quantos desvios-padrão” da média precisamos para cobrir 92\% da distribuição centrada.

Passo 3

Formulação do tamanho de amostra para proporção (parte (a)) e justificativa do uso de p=0{,}5.
  • Para estimar uma proporção com margem de erro E e nível de confiança dado, a fórmula aproximada (para população grande) do tamanho mínimo de amostra é
n = \frac{z^{2}\,p(1-p)}{E^{2}},
onde:
  • z é o valor crítico (explicado acima),
  • p é a proporção verdadeira (desconhecida),
  • E é a margem de erro desejada (em unidades de proporção, ex.: 0{,}02 para 2\%).
  • Se não conhecemos p previamente, usamos o caso conservador p=0{,}5, porque p(1-p) alcança seu máximo em p=0{,}5, garantindo que n seja suficiente para qualquer valor verdadeiro de p.

Passo 4

Aplicando a fórmula numérica para (a).
  • Substituindo z\approx 1{,}7507, p=0{,}5 e E=0{,}02 na fórmula:
n = \frac{(1{,}7507)^{2}\cdot 0{,}5\cdot(1-0{,}5)}{(0{,}02)^{2}}.
  • Calcule passo a passo:
(1{,}7507)^{2} \approx 3{,}0649,
p(1-p)=0{,}5\cdot 0{,}5 = 0{,}25,
\text{numerador} = 3{,}0649 \cdot 0{,}25 \approx 0{,}766225,
E^{2} = (0{,}02)^{2} = 0{,}0004,
n \approx \frac{0{,}766225}{0{,}0004} = 1915{,}5625.
  • Como precisamos de um número inteiro de observações e queremos garantir que a margem de erro seja no máximo E, arredondamos para cima:
n_{\min} = 1916.
Comentário prático: sempre arredonde para cima no cálculo de tamanho de amostra para não correr o risco de ter amostra insuficiente.

Passo 5

Preparando a parte (b): estimativa pontual e verificação das condições para usar aproximação normal.
  • A estimativa pontual da proporção é a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{600}{3000} = 0{,}2.
  • Verificação rápida da condição da aproximação normal (regra prática): n\hat p e n(1-\hat p) devem ser maiores que 5.
n\hat p = 3000\cdot 0{,}2 = 600,\qquad n(1-\hat p) = 3000\cdot 0{,}8 = 2400,
ambos muito maiores que 5, então podemos usar a aproximação com a normal.

Passo 6

Cálculo do erro padrão da proporção e da margem de erro para (b).
  • O erro padrão (desvio padrão da \hat p) é
\mathrm{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
  • Substituindo \hat p=0{,}2 e n=3000:
\hat p(1-\hat p)=0{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}16,
\frac{\hat p(1-\hat p)}{n} = \frac{0{,}16}{3000} \approx 0{,}0000533333,
\mathrm{SE}(\hat p) \approx \sqrt{0{,}0000533333} \approx 0{,}007302.
  • A margem de erro (para o mesmo nível de confiança usado antes, 92\%, com z\approx 1{,}7507) é
E = z\cdot \mathrm{SE}(\hat p) \approx 1{,}7507 \cdot 0{,}007302 \approx 0{,}01278.
Em termos percentuais, E\approx 1{,}278\%.

Passo 7

Construção do intervalo de confiança para (b).
  • O intervalo de confiança bilateral é
\hat p \pm E.
  • Substituindo os valores:
\text{limite inferior} = 0{,}2 - 0{,}01278 \approx 0{,}18722,
\text{limite superior} = 0{,}2 + 0{,}01278 \approx 0{,}21278.
  • Em forma percentual, o intervalo é aproximadamente 18{,}72\% a 21{,}28\%, com margem de erro aproximadamente 1{,}278\%.

Resposta

(a) n_{\min}=1916\n(b) Intervalo de confiança: [0{,}18722,\;0{,}21278] \nMargem de erro: E\approx 0{,}01278 (ou 1{,}278\%).

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