Com o intuito de realizar o seu planejamento para os próximos 5 anos, uma construtora gostaria de realizar uma pesquisa de mercado na qual o objetivo é estimar a proporção de pessoas na região de Limeira que pretendem adquirir um imóvel nos próximos cinco anos. Considerando um nível de confiança de
:
(a) Determine o número mínimo de amostras necessárias para garantir uma estimação intervalar com margem de erro de no máximo
.
(b) Considere agora uma situação na qual 600 pessoas (num total de 3000 ) disseram que pretendem adquirir um imóvel nos próximos 5 anos. Determine um intervalo de confiança para tal estimação e sua respectiva margem de erro.
(a) Determine o número mínimo de amostras necessárias para garantir uma estimação intervalar com margem de erro de no máximo
(b) Considere agora uma situação na qual 600 pessoas (num total de 3000 ) disseram que pretendem adquirir um imóvel nos próximos 5 anos. Determine um intervalo de confiança para tal estimação e sua respectiva margem de erro.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece os seguintes dados:
- Nível de confiança:
. - (a) Determinar o número mínimo de amostras necessárias para que a margem de erro seja no máximo
. - (b) Situação em que
pessoas (num total de ) disseram que pretendem adquirir um imóvel nos próximos 5 anos. Com base nisso, determinar um intervalo de confiança para a proporção e a respectiva margem de erro.
Dados extraídos do enunciado (relevantes para a resolução):
- nível de confiança
, - margem de erro desejada em (a):
, - no item (b): número de respostas positivas
e tamanho da amostra (portanto a estimativa pontual será ).
Passo 2
Entendendo o que é nível de confiança e como obter o valor crítico
.
- O nível de confiança
significa que . Em um intervalo de confiança bilateral usamos . - O valor crítico
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à esquerda é . - Vamos anotar esse valor como
- Consultando tabela da Normal padrão (ou usando calculadora estatística), obtemos aproximadamente
Breve intuição didática: esse
é “quantos desvios-padrão” da média precisamos para cobrir
da distribuição centrada.
Passo 3
Formulação do tamanho de amostra para proporção (parte (a)) e justificativa do uso de
.
- Para estimar uma proporção com margem de erro
e nível de confiança dado, a fórmula aproximada (para população grande) do tamanho mínimo de amostra é
onde:
-
é o valor crítico (explicado acima), -
é a proporção verdadeira (desconhecida), -
é a margem de erro desejada (em unidades de proporção, ex.: para ). - Se não conhecemos
previamente, usamos o caso conservador , porque alcança seu máximo em , garantindo que seja suficiente para qualquer valor verdadeiro de .
Passo 4
Aplicando a fórmula numérica para (a).
- Substituindo
, e na fórmula:
- Calcule passo a passo:
- Como precisamos de um número inteiro de observações e queremos garantir que a margem de erro seja no máximo
, arredondamos para cima:
Comentário prático: sempre arredonde para cima no cálculo de tamanho de amostra para não correr o risco de ter amostra insuficiente.
Passo 5
Preparando a parte (b): estimativa pontual e verificação das condições para usar aproximação normal.
- A estimativa pontual da proporção é a proporção amostral
:
- Verificação rápida da condição da aproximação normal (regra prática):
e devem ser maiores que 5.
ambos muito maiores que
, então podemos usar a aproximação com a normal.
Passo 6
Cálculo do erro padrão da proporção e da margem de erro para (b).
- O erro padrão (desvio padrão da
) é
- Substituindo
e :
- A margem de erro (para o mesmo nível de confiança usado antes,
, com ) é
Em termos percentuais,
.
Passo 7
Construção do intervalo de confiança para (b).
- O intervalo de confiança bilateral é
- Substituindo os valores:
- Em forma percentual, o intervalo é aproximadamente
a , com margem de erro aproximadamente .
Resposta
(a)
\n(b) Intervalo de confiança:
\nMargem de erro:
(ou
).