Um novo método de estudo para disciplinas da engenharia foi desenvolvido. O inventor do método alega que, com aplicação de tal método, há uma melhora na nota média dos alunos, que historicamente é dada por 6. Um teste de hipótese unilateral foi conduzido para verificar tal afirmação. A hipótese nula nesse caso é definida como a nota média histórica de 6, enquanto a hipótese alternativa assume que a nota média é superior à nota média histórica. O número de amostras no experimento foi de 65 alunos, de modo que a média dessas amostras foi de 6,2 . É sabido que o desvio populacional das notas é conhecido e é dado por 1,5. Diante disso:
(a) Conduza o teste de hipótese unilateral descrito no enunciado considerando um nível de significância de 4 %.
(b) Para quais níveis de significância a hipótese nula seria rejeitada? Comente sobre a plausibilidade estatística da hipótese nula.
(c) Suspeita-se que, de fato, o método ajuda o aluno e faz com que a média seja elevada para 6,3 . Se tal suspeita realmente fosse verdadeira, qual seria a probabilidade de erro tipo II para um nível de significância de 4 % ?

Passo 1

O enunciado pede que façamos 3 coisas:
  1. (a) Realizar um teste de hipótese unilateral (direcional para a direita) com nível de significância \alpha=4\%.
  2. (b) Determinar para quais níveis de significância a hipótese nula seria rejeitada e comentar a plausibilidade de H_0.
  3. (c) Calcular a probabilidade de erro do tipo II ( \beta) quando a média verdadeira fosse \mu=6,3, mantendo \alpha=4\%.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Número de observações: } n=65,\\\ &\text{Média amostral: } \bar{x}=6,2,\\\ &\text{Desvio-padrão populacional conhecido: } \sigma=1,5,\\\ &\text{Hipóteses: } H_0:\mu=6\quad\text{vs.}\quad H_1:\mu>6,\\\ &\text{Nível de significância pedido em (a): } \alpha=0,04. \end{aligned}úçõéãóíâ

Passo 2

Que teste usar e por quê?
  • Quando o desvio populacional \sigma é conhecido, usamos o teste-z para a média.
  • A estatística de teste é a padronização da média amostral:
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Expliquei cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=6,2).
  • \mu_0 é o valor sob H_0 (aqui \mu_0=6).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=1,5).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=65).
  • A quantidade \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média: é o desvio padrão da distribuição amostral de \bar{X}. Vou calcular esse valor para usar adiante.
Calculemos o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1,5}{\sqrt{65}}.
Agora \sqrt{65}\approx 8,0623, então
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx \frac{1,5}{8,0623}\approx 0,18605.

Passo 3

Calcular a estatística z e decidir para \alpha=0,04.
Calcule z:
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{6,2-6}{0,18605}=\frac{0,2}{0,18605}\approx 1,075.
Agora o valor crítico para um teste unilateral à direita com \alpha=0,04 é o quantil z_{1-\alpha}=z_{0,96}. Usando tabelas da normal:
z_{0,96}\approx 1,7507.
Regra de decisão: rejeitar H_0 se z>z_{0,96}. Aqui temos z\approx 1,075 que é menor que 1,7507. Logo não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,04.
Também é útil calcular o valor-p (p-value) para interpretação:
\text{valor-p}=P(Z\ge z_{\text{obs}})=1-\Phi(1,075)\approx 1-0,8587\approx 0,1413.
Como \text{valor-p}\approx 0,1413>0,04, reforça-se a decisão de não rejeitar H_0.

Passo 4

Resposta à parte (b): para quais níveis de significância H_0 seria rejeitada?
  • Em geral, para um teste unilateral à direita, rejeitamos H_0 se \alpha> valor-p. Portanto, H_0 seria rejeitada para qualquer nível de significância maior que o valor-p observado.
  • Como \text{valor-p}\approx 0,1413, isso significa que rejeitaríamos H_0 apenas se \alpha\gtrsim 0,1413 (ou seja, níveis acima de aproximadamente 14{,}13\%). Em níveis usuais como 5\% ou 1\% não rejeitaríamos.
    Comentário sobre plausibilidade: o valor-p é relativamente grande, o que indica que a evidência amostral contra H_0:\mu=6 é fraca. Portanto, a hipótese nula é plausível diante desses dados — não há evidência estatística suficiente para afirmar que a média é maior que 6 com um rigor usual ( \alpha=0,04 ou menores).

Passo 5

Parte (c): calcular a probabilidade de erro tipo II ( \beta) quando a verdadeira média é \mu=6,3 e \alpha=0,04.
Procedimento:
  1. Determine o ponto crítico em termos de \bar{X} que leva à rejeição. Para \alpha=0,04 o ponto crítico z é z_{0,96}\approx 1,7507. Então o menor valor de \bar{x} que leva à rejeição é
\bar{x}_{\text{crit}}=\mu_0+z_{0,96}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  1. Substituir números:
\bar{x}_{\text{crit}}=6+1,7507\cdot 0,18605\approx 6+0,3256\approx 6,3256.
Interpretação: só se a média amostral exceder aproximadamente 6,3256 rejeitaremos H_0.
  1. Agora, sob a hipótese alternativa verdadeira \mu=6,3, a distribuição de \bar{X} é normal com média 6,3 e desvio padrão 0,18605. O erro tipo II é a probabilidade de não rejeitar H_0 quando \mu=6,3, isto é:
\beta=P\big(\bar{X}\le \bar{x}_{\text{crit}}\mid \mu=6,3\big) = \Phi\!\left(\frac{\bar{x}_{\text{crit}}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right).
  1. Calcule o argumento da \Phi:
\frac{\bar{x}_{\text{crit}}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{6,3256-6,3}{0,18605}=\frac{0,0256}{0,18605}\approx 0,1376.
  1. Assim
\beta\approx \Phi(0,1376)\approx 0,5547.
Portanto a probabilidade de erro tipo II é aproximadamente 55{,}47\%. O poder do teste (probabilidade de detectar \mu=6,3) é 1-\beta\approx 0,4453 (cerca de 44{,}53\%).
Interpretação final: mesmo se a média verdadeira fosse 6,3 (um aumento de apenas 0,3 em relação a 6), com a amostra de tamanho 65 e \alpha=0,04 o teste teria baixa potência ( \approx 44{,}5\%), e a probabilidade de não detectar esse aumento (erro tipo II) seria alta ( \approx 55{,}5\%). Isso indica que, para detectar aumentos pequenos como 0,3, seria necessário aumentar o tamanho da amostra ou aceitar um nível de significância maior para reduzir \beta.

Resposta

(a) Não rejeita H_0 ao nível \alpha=0,04; estatística z\approx 1,075; valor-p \approx 0,1413.
(b) Rejeitar-se-ia H_0 apenas para níveis de significância \alpha\gtrsim 0,1413 (ou seja, acima de aproximadamente 14{,}13\%). Conclusão: pouca evidência contra H_0, H_0 é plausível com estes dados.
(c) \beta\approx 0,5547 (probabilidade de erro tipo II para \mu=6,3 e \alpha=0,04); poder =1-\beta\approx 0,4453.

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