Um novo método de estudo para disciplinas da engenharia foi desenvolvido. O inventor do método alega que, com aplicação de tal método, há uma melhora na nota média dos alunos, que historicamente é dada por 6. Um teste de hipótese unilateral foi conduzido para verificar tal afirmação. A hipótese nula nesse caso é definida como a nota média histórica de 6, enquanto a hipótese alternativa assume que a nota média é superior à nota média histórica. O número de amostras no experimento foi de 65 alunos, de modo que a média dessas amostras foi de 6,2 . É sabido que o desvio populacional das notas é conhecido e é dado por 1,5. Diante disso:
(a) Conduza o teste de hipótese unilateral descrito no enunciado considerando um nível de significância de
.
(b) Para quais níveis de significância a hipótese nula seria rejeitada? Comente sobre a plausibilidade estatística da hipótese nula.
(c) Suspeita-se que, de fato, o método ajuda o aluno e faz com que a média seja elevada para 6,3 . Se tal suspeita realmente fosse verdadeira, qual seria a probabilidade de erro tipo II para um nível de significância de
?
(a) Conduza o teste de hipótese unilateral descrito no enunciado considerando um nível de significância de
(b) Para quais níveis de significância a hipótese nula seria rejeitada? Comente sobre a plausibilidade estatística da hipótese nula.
(c) Suspeita-se que, de fato, o método ajuda o aluno e faz com que a média seja elevada para 6,3 . Se tal suspeita realmente fosse verdadeira, qual seria a probabilidade de erro tipo II para um nível de significância de
Passo 1
O enunciado pede que façamos 3 coisas:
- (a) Realizar um teste de hipótese unilateral (direcional para a direita) com nível de significância
. - (b) Determinar para quais níveis de significância a hipótese nula seria rejeitada e comentar a plausibilidade de
. - (c) Calcular a probabilidade de erro do tipo II (
) quando a média verdadeira fosse , mantendo .
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Passo 2
Que teste usar e por quê?
- Quando o desvio populacional
é conhecido, usamos o teste-z para a média. - A estatística de teste é a padronização da média amostral:
Expliquei cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o valor sob (aqui ). -
é o desvio padrão populacional (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). - A quantidade
é o erro padrão da média: é o desvio padrão da distribuição amostral de . Vou calcular esse valor para usar adiante.
Calculemos o erro padrão:
Agora
, então
Passo 3
Calcular a estatística
e decidir para
.
Calcule
:
Agora o valor crítico para um teste unilateral à direita com
é o quantil
. Usando tabelas da normal:
Regra de decisão: rejeitar
se
. Aqui temos
que é menor que
. Logo não rejeitamos
ao nível
.
Também é útil calcular o valor-p (p-value) para interpretação:
Como
, reforça-se a decisão de não rejeitar
.
Passo 4
Resposta à parte (b): para quais níveis de significância
seria rejeitada?
- Em geral, para um teste unilateral à direita, rejeitamos
se valor-p. Portanto, seria rejeitada para qualquer nível de significância maior que o valor-p observado. - Como
, isso significa que rejeitaríamos apenas se (ou seja, níveis acima de aproximadamente ). Em níveis usuais como ou não rejeitaríamos.
Comentário sobre plausibilidade: o valor-p é relativamente grande, o que indica que a evidência amostral contraé fraca. Portanto, a hipótese nula é plausível diante desses dados — não há evidência estatística suficiente para afirmar que a média é maior que com um rigor usual ( ou menores).
Passo 5
Parte (c): calcular a probabilidade de erro tipo II (
) quando a verdadeira média é
e
.
Procedimento:
- Determine o ponto crítico em termos de
que leva à rejeição. Para o ponto crítico z é . Então o menor valor de que leva à rejeição é
- Substituir números:
Interpretação: só se a média amostral exceder aproximadamente
rejeitaremos
.
- Agora, sob a hipótese alternativa verdadeira
, a distribuição de é normal com média e desvio padrão . O erro tipo II é a probabilidade de não rejeitar quando , isto é:
- Calcule o argumento da
:
- Assim
Portanto a probabilidade de erro tipo II é aproximadamente
. O poder do teste (probabilidade de detectar
) é
(cerca de
).
Interpretação final: mesmo se a média verdadeira fosse
(um aumento de apenas
em relação a
), com a amostra de tamanho
e
o teste teria baixa potência (
), e a probabilidade de não detectar esse aumento (erro tipo II) seria alta (
). Isso indica que, para detectar aumentos pequenos como
, seria necessário aumentar o tamanho da amostra ou aceitar um nível de significância maior para reduzir
.
Resposta
(a) Não rejeita
ao nível
; estatística
; valor-p
.
(b) Rejeitar-se-ia apenas para níveis de significância
(ou seja, acima de aproximadamente
). Conclusão: pouca evidência contra
,
é plausível com estes dados.
(c) (probabilidade de erro tipo II para
e
); poder
.
(b) Rejeitar-se-ia
(c)