Uma indústria de alimentos deseja concentrar suco de acerola em um sistema de evaporação a vácuo. A alimentação entra no tanque flash com vazão volumétrica de 0,80 \mathrm{L} / \mathrm{s}, densidade de 1050 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, temperatura de 75^{\circ} \mathrm{C} e pressão de alimentação de 200 kPa .
A solução alimentada contém inicialmente 12 \% em massa de sólidos solúveis. O objetivo do processo é obter uma corrente líquida concentrada com 28 \% em massa de sólidos solúveis.
O tanque flash opera a uma pressão interna de 40 kPa , condição na qual parte da água evapora. Considere que os sólidos solúveis não evaporam e que a fase vapor é composta apenas por água.

Dados

  • Vazão de alimentação: F_{0}=0,80 \mathrm{~L} / \mathrm{s}
  • Densidade da alimentação: \rho_{0}=1050 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
  • Fração mássica inicial de sólidos: \mathrm{X}_{0}=0,12
  • Fração mássica final de sólidos: \mathrm{X}_{1}=0,28
  • Temperatura de entrada: \mathrm{T}_{0}=75^{\circ} \mathrm{C}
  • Pressão de alimentação: \mathrm{Po}_{0}=200 \mathrm{kPa}
  • Pressão no tanque flash: \mathrm{P}=40 \mathrm{kPa}
  • Calor específico médio da solução: \mathrm{Cp}=3,85 \mathrm{~kJ} /\left(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
  • Temperatura de ebulição da água a 40 kPa : \mathrm{Teb}=75,9^{\circ} \mathrm{C}
  • Calor latente de vaporização da água a 40 \mathrm{kPa}: \lambda=2318 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}

Determine

a) A vazão mássica de alimentação em kg/s.
b) A vazão mássica de sólidos na alimentação.
c) A vazão mássica da corrente líquida concentrada.
d) A vazão mássica de água evaporada.
e) A fração de água removida em relação à água presente na alimentação.
f) Desenvolva a formulação matemática geral do problema por balanço de massa global e balanço de massa do soluto.
g) Discuta qualitativamente como a redução da pressão interna do tanque favorece a evaporação da água.
Obs.: Montar o esquema do problema com todas as variáveis dadas.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o enunciado e listar tudo que o problema dá — assim não nos perdemos. Peguei todos estes números do enunciado.
  • Vazão volumétrica de alimentação: F_{0}=0,80\\ \mathrm{L/s}=0,0008\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Densidade da alimentação: \rho_{0}=1050\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Fração mássica inicial de sólidos (na alimentação): X_{0}=0,12.
  • Fração mássica desejada de sólidos (na corrente líquida concentrada): X_{1}=0,28.
  • Temperatura da alimentação: T_{0}=75{^\circ}\mathrm{C}.
  • Pressão no tanque flash: P=40\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura de ebulição da água a 40\\ \mathrm{kPa}: T_{eb}=75{,}9{^\circ}\mathrm{C}.
  • Calor específico médio da solução: C_p=3{,}85\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot {^\circ}C)}.
  • Calor latente de vaporização da água a 40\\ \mathrm{kPa}: \lambda=2318\\ \mathrm{kJ/kg}.
O que o enunciado pede (resumo das perguntas):
a) vazão mássica de alimentação ( \mathrm{kg/s});
b) vazão mássica de sólidos na alimentação ( \mathrm{kg/s});
c) vazão mássica da corrente líquida concentrada ( \mathrm{kg/s});
d) vazão mássica de água evaporada ( \mathrm{kg/s});
e) fração da água removida em relação à água na alimentação (adi­men­são ou %);
f) formular matematicamente o problema por balanço de massa global e balanço do soluto;
g) discutir qualitativamente como a redução da pressão favorece a evaporação.
Esquema do processo (texto): entrada (alimentação) com vazão mássica F, fração de sólidos X_{0}; no tanque flash opera a P=40\\ \mathrm{kPa} e forma-se uma corrente líquida (produto) com vazão mássica L e fração de sólidos X_{1}, e uma corrente vapor (apenas água) com vazão mássica V. Relações básicas esperadas: balanço de massa total F=L+V e balanço do soluto F X_{0}=L X_{1}.

Passo 2

(a) Calcular a vazão mássica de alimentação.
Passos e conceitos: a vazão mássica \dot{m} relaciona-se com vazão volumétrica \dot{V} e densidade \rho por \dot{m}=\rho\\ \dot{V}. Aqui a unidade dada para \dot{V} é \mathrm{L/s}; primeiro converto para \mathrm{m^{3}/s}: 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}, logo \dot{V}=0{,}80\\ \mathrm{L/s}=0{,}0008\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Cálculo:
F=\rho_{0}\,\dot{V}=1050\cdot 0{,}0008=0{,}84\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: F é a massa de suco que entra por segundo.

Passo 3

(b) Vazão mássica de sólidos na alimentação.
Conceito: fração mássica X_{0} significa que a cada 1\\ \mathrm{kg} de alimentação, X_{0} kg são sólidos. Então a vazão de sólidos \dot{m}_\text{sol} é F\cdot X_{0}.
Cálculo:
\dot{m}_{\text{sol}}=F X_{0}=0{,}84\cdot 0{,}12=0{,}1008\\ \mathrm{kg/s}.
Comentário: essa quantidade de sólidos não evapora e aparece intacta na corrente líquida.

Passo 4

(c) Vazão mássica da corrente líquida concentrada ( L).
Usamos o balanço de soluto: todo o soluto que entra sai pelo líquido concentrado (vapor é água pura), logo
F X_{0}=L X_{1}.
Isolando L:
L=\frac{F X_{0}}{X_{1}}=\frac{0{,}84\cdot 0{,}12}{0{,}28}=0{,}36\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação prática: para concentrar de 12\% para 28\% mantendo a mesma massa de soluto, sobra menos líquido.

Passo 5

(d) Vazão mássica de água evaporada ( V).
Usamos o balanço de massa total F=L+V, então
V=F-L.
Cálculo:
V=0{,}84-0{,}36=0{,}48\\ \mathrm{kg/s}.
Também dá para obter diretamente pela fórmula algébrica combinada:
V=F\left(1-\frac{X_{0}}{X_{1}}\right).

Passo 6

(e) Fração de água removida relativa à água presente na alimentação.
Primeiro calculo a vazão de água na alimentação: massa de água na alimentação é F(1-X_{0}).
Cálculo:
\text{água na alimentação}=F(1-X_{0})=0{,}84\cdot(1-0{,}12)=0{,}84\cdot 0{,}88=0{,}7392\\ \mathrm{kg/s}.áçã
A água removida é V=0{,}48\\ \mathrm{kg/s}. Logo a fração removida \varphi é
\varphi=\frac{V}{F(1-X_{0})}=\frac{0{,}48}{0{,}7392}\approx 0{,}64935\approx 64{,}94\%.
Interpretação: cerca de 65\% da água presente no suco de alimentação foi removida no flash.

Passo 7

(f) Formulação matemática geral por balanço de massa global e do soluto — derivação e fórmulas úteis (a “receita” geral).
Definições de variáveis (genéricas):
  • F: vazão mássica de alimentação ( \mathrm{kg/s}).
  • X_{0}: fração mássica de soluto na alimentação.
  • L: vazão mássica do líquido concentrado ( \mathrm{kg/s}).
  • X_{1}: fração mássica de soluto no líquido concentrado.
  • V: vazão mássica de vapor (água) ( \mathrm{kg/s}).
Equações fundamentais:
  1. Balanço de massa total:
F=L+V.
  1. Balanço de massa do soluto (não volatiliza):
F X_{0}=L X_{1}.
  1. (Opcional) Balanço de água:
F(1-X_{0})=L(1-X_{1})+V.
Das equações (1) e (2) podemos obter explicitamente:
L=\frac{F X_{0}}{X_{1}}, \qquad V=F-L=F\left(1-\frac{X_{0}}{X_{1}}\right).
Fração de água removida (como em (e)):
\varphi=\frac{V}{F(1-X_{0})}=\frac{1-\dfrac{X_{0}}{X_{1}}}{1-X_{0}}.
Essas relações permitem resolver o problema de separação por evaporação sempre que o soluto for não-volátil e o vapor for apenas água.

Passo 8

(Comentário energético didático — não pedido explicitamente, mas útil para entender o processo e usar os dados C_p, T_{eb} e \lambda.)
Ideia: para evaporar parte da água é preciso fornecer calor para:
  1. Aquecer a alimentação até a temperatura de ebulição no interior do flash (se necessário).
  2. Vaporizar a massa V de água (latente).
Sensible heating (se a alimentação não estiver já à temperatura de ebulição interna):
\dot{Q}_{s}=F\,C_p\,(T_{eb}-T_{0}).
Latente:
\dot{Q}_{\ell}=V\,\lambda.
Potência térmica total aproximada:
\dot{Q}_{tot}=\dot{Q}_{s}+\dot{Q}_{\ell}.
Usando os números dados (apenas para dar uma noção):
  • T_{eb}-T_{0}=75{,}9-75=0{,}9{^\circ}\mathrm{C}.
  • \dot{Q}_{s}=0{,}84\cdot 3{,}85\cdot 0{,}9\approx 2{,}91\\ \mathrm{kW}.
  • \dot{Q}_{\ell}=0{,}48\cdot 2318\approx 1112{,}64\\ \mathrm{kW}.
  • \dot{Q}_{tot}\approx 1115{,}55\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: a maior parcela do calor é a vaporização (latente). Note que a alimentação está praticamente à temperatura de ebulição do flash (diferença de apenas 0{,}9{^\circ}\mathrm{C}), por isso o aquecimento sensível é pequeno; isso é intencional em projeto de evaporadores para economizar energia.

Passo 9

(g) Discussão qualitativa: por que a redução da pressão interna do tanque favorece a evaporação da água?
Explicação didática, passo a passo e sem jargões:
  • A água ferve quando sua pressão de vapor saturado fica igual à pressão ambiente. A pressão de vapor saturado cresce com a temperatura.
  • Quando reduzimos a pressão do tanque (por exemplo de 200\\ \mathrm{kPa} para 40\\ \mathrm{kPa}), a temperatura à qual a água entra em ebulição (temperatura de ebulição) cai — isto é, a água precisa de menor temperatura para ter vapor de vapor igual à pressão do tanque.
  • Se a alimentação estiver mais quente que a nova temperatura de ebulição, ocorrerá evaporação imediata (flash) ao reduzir a pressão: parte da água “passa” para vapor até que o equilíbrio energia-massa seja atingido.
  • Reduzir a pressão, portanto, facilita a evaporação a temperaturas mais baixas — útil para concentrar sucos sensíveis ao calor (como suco de acerola) porque permite vaporizar água sem aquecer muito o produto, preservando sabor e nutrientes.
  • Em termos termodinâmicos, a relação entre pressão e temperatura de ebulição é dada implicitamente pela curva de saturação (e pode ser relacionada pela equação de Clausius–Clapeyron); qualitativamente, menor pressão → menor T_{eb} → evaporação a temperaturas menores.
  • Observação concreta para este problema: a P=40\\ \mathrm{kPa} temos T_{eb}=75{,}9{^\circ}\mathrm{C}, muito próximo da alimentação a 75{^\circ}\mathrm{C}. Isso mostra por que a operação a vácuo (pressão reduzida) é vantajosa — apenas uma pequena quantidade de aquecimento é necessária para vaporizar grande quantidade de água (pois a alimentação já está praticamente na temperatura de ebulição do flash).
Força motriz prática: a “direção” do balanço de massa (quanto de água evapora) depende também da energia disponível; reduzir pressão reduz a energia necessária para vaporizar e pode aumentar a fração que evapora sem degradar o produto.

Resposta

a) F=0{,}84\\ \mathrm{kg/s}.
b) \dot{m}_{\text{sol}}=0{,}1008\\ \mathrm{kg/s}.
c) L=0{,}36\\ \mathrm{kg/s}.
d) V=0{,}48\\ \mathrm{kg/s}.
e) Fração removida =\dfrac{V}{F(1-X_{0})}\approx 0{,}64935\approx 64{,}94\%.
f) Formulação geral: balanços
F=L+V, \qquad F X_{0}=L X_{1},
com soluções
L=\frac{F X_{0}}{X_{1}},\qquad V=F\Bigl(1-\frac{X_{0}}{X_{1}}\Bigr),
e fração de água removida
\varphi=\frac{V}{F(1-X_{0})}=\frac{1-\dfrac{X_{0}}{X_{1}}}{1-X_{0}}.
g) Reduzir a pressão do tanque diminui a temperatura de ebulição da água; assim a água evapora mais facilmente a temperaturas mais baixas (permitindo grande remoção de água com menor aquecimento do produto), o que favorece a evaporação e preserva propriedades sensíveis do suco.

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