Questão 05. Considerando as consequências da definição de logaritmo, calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor de
.
Informações dadas:
- A base da potência é
. - O expoente é
. - O logaritmo tem base
.
Passo 2
Relembrando propriedades essenciais que vou usar (explicadas de forma bem prática):
- Propriedade de potência de potência:
. Aqui é a base e são expoentes. - Soma de expoentes vira produto de potências:
. - Logaritmo e exponenciação são operações inversas:
para , e . Exemplo simples: . - Potência de um múltiplo no expoente:
.
Passo 3
Observação útil:
pode ser escrito como potência de
, porque
. Vou reescrever a expressão usando isso:
Passo 4
Aplicando a propriedade de potência de potência
:
Passo 5
Distribuindo o
no expoente (aritmética simples em expoente) e usando
:
Passo 6
Trabalhando o fator
. Usando que
, primeiro vemos que
Logo, elevando ambos os lados ao cubo (ou usando
):
Passo 7
Substituindo de volta: