Questão 05. Considerando as consequências da definição de logaritmo, calcule:
8^{1+\log _{2} 3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor de \displaystyle 8^{1+\log_{2}3}.
Informações dadas:
  • A base da potência é \displaystyle 8.
  • O expoente é \displaystyle 1+\log_{2}3.
  • O logaritmo tem base \displaystyle 2.

Passo 2

Relembrando propriedades essenciais que vou usar (explicadas de forma bem prática):
  • Propriedade de potência de potência: \displaystyle (a^b)^c = a^{bc}. Aqui a é a base e b,c são expoentes.
  • Soma de expoentes vira produto de potências: \displaystyle a^{u+v}=a^u\cdot a^v.
  • Logaritmo e exponenciação são operações inversas: \displaystyle a^{\log_a x}=x para a>0, a\neq1 e x>0. Exemplo simples: \displaystyle 10^{\log_{10}7}=7.
  • Potência de um múltiplo no expoente: \displaystyle a^{k\cdot m}=(a^k)^m.

Passo 3

Observação útil: \displaystyle 8 pode ser escrito como potência de \displaystyle 2, porque \displaystyle 8=2^3. Vou reescrever a expressão usando isso:
8^{1+\log_{2}3} = \left(2^3\right)^{1+\log_{2}3}.

Passo 4

Aplicando a propriedade de potência de potência \displaystyle (a^b)^c=a^{bc}:
\left(2^3\right)^{1+\log_{2}3} = 2^{3(1+\log_{2}3)}.

Passo 5

Distribuindo o 3 no expoente (aritmética simples em expoente) e usando \displaystyle a^{u+v}=a^u\cdot a^v:
2^{3(1+\log_{2}3)} = 2^{3+3\log_{2}3} = 2^{3}\cdot 2^{3\log_{2}3}.

Passo 6

Trabalhando o fator \displaystyle 2^{3\log_{2}3}. Usando que \displaystyle a^{\log_a x}=x, primeiro vemos que
2^{\log_{2}3}=3.
Logo, elevando ambos os lados ao cubo (ou usando \displaystyle 2^{3\log_{2}3}=(2^{\log_{2}3})^{3}):
2^{3\log_{2}3} = \bigl(2^{\log_{2}3}\bigr)^{3} = 3^{3}.

Passo 7

Substituindo de volta:
2^{3}\cdot 2^{3\log_{2}3} = 2^{3}\cdot 3^{3} = 8\cdot 3^{3}.

Resposta

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