Questão 05. Considerando as consequências da definição de logaritmo, calcule:
9^{2-\log _{3} \sqrt{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor da expressão \,9^{2-\log_{3}\sqrt{2}}\,.
Informações explícitas do enunciado que vamos usar (estão todas no próprio enunciado):
  • A base 9 pode ser relacionada a 3 porque 9=3^{2}.
  • O termo \sqrt{2} é a potência 2^{1/2}.
  • Aparecem logaritmos na base 3: \log_{3}(\cdot).

Passo 2

Primeiro reescrever as partes em potências mais convenientes. Escrevo 9 como potência de 3 e \sqrt{2} como potência de 2:
9=3^{2}, \qquad \sqrt{2}=2^{1/2}.

Passo 3

Substituo essas equalidades na expressão original:
9^{2-\log_{3}\sqrt{2}}=(3^{2})^{\,2-\log_{3}(2^{1/2})}.
Aqui apenas troquei 9 por 3^{2} e \sqrt{2} por 2^{1/2}.

Passo 4

Uso a regra de potências que diz que (a^{m})^{n}=a^{m n}. Aplicando com a=3, m=2 e n=2-\log_{3}(2^{1/2}), obtemos:
(3^{2})^{\,2-\log_{3}(2^{1/2})}=3^{\,2\cdot\bigl(2-\log_{3}(2^{1/2})\bigr)}.

Passo 5

Faço a multiplicação no expoente:
2\cdot\bigl(2-\log_{3}(2^{1/2})\bigr)=4-2\log_{3}(2^{1/2}).
Portanto
9^{2-\log_{3}\sqrt{2}}=3^{\,4-2\log_{3}(2^{1/2})}.

Passo 6

Agora uso a propriedade do logaritmo de potência: \log_{a}(x^{k})=k\log_{a}x. Aplicando com k=\tfrac{1}{2}, x=2 e a=3:
\log_{3}(2^{1/2})=\tfrac{1}{2}\log_{3}2.
Substituindo isso em 4-2\log_{3}(2^{1/2}) dá:
4-2\log_{3}(2^{1/2})=4-2\cdot\Bigl(\tfrac{1}{2}\log_{3}2\Bigr)=4-\log_{3}2.

Passo 7

Logo a expressão se simplifica para
9^{2-\log_{3}\sqrt{2}}=3^{\,4-\log_{3}2}.
Agora separe a potência em quociente usando 3^{\,4-\log_{3}2}=\dfrac{3^{4}}{3^{\log_{3}2}}.

Passo 8

Reconheço que 3^{\log_{3}2}=2 (própria definição inversa de expoente e logaritmo). E 3^{4}=81. Portanto
\frac{3^{4}}{3^{\log_{3}2}}=\frac{81}{2}.

Resposta

\dfrac{81}{2}

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