Prove ou refute as seguintes afirmações:
Se
e
são sequências convergentes, então
é uma sequência convergente.
Se
Passo 1
O enunciado dá duas sequências convergentes
e
. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
- Dado: existem
tais que
- Pergunta: a sequência
converge? Se sim, qual é o seu limite?
Passo 2
Para começar, lembro a definição de convergência que vou usar (com bastante calma):
- A sequência
converge para significa que: para todo existe tal que, para todo ,
Também uso um fato útil e simples, com sua prova curta: toda sequência convergente é limitada (bounded).
Prova do fato (rápida): seja
com
. Tome
. Então existe
tal que, para
,
, isto é
. Para os índices finitos
podemos tomar o máximo dos valores absolutos. Assim existe
tal que
para todo
. Portanto convergência implica sequência limitada.
Aplicando isso ao nosso caso, como
converge para
, existe
tal que
Passo 3
Agora preparo o coração da prova: quero mostrar que
. Então pego a diferença e faço uma manipulação algébrica que é padrão e muito útil:
Isto é apenas uma expansão e está correta — dá para verificar distribuindo.
A partir daí tiro a desigualdade triangular (muito usada em provas com
):
Passo 4
Já sabemos que
para todo
. Então a primeira parcela fica controlada por
:
A segunda parcela é
.
A ideia agora é: dado
, escolher
grande o suficiente para que cada parcela seja menor que
. Assim a soma será
e teremos a convergência.
Passo 5
Formalizo a escolha de
.
Seja
. Como
, existe
tal que, para todo
,
(Isto é possível porque
e pela definição de limite de
.)
Como
, existe
tal que, para todo
,
Note que usei
no denominador para cobrir o caso
sem problemas (assim o denominador nunca é zero).
Agora tomo
. Para todo
temos simultaneamente as duas desigualdades acima. Então, usando os limites e as desigualdades anteriores,
Isto simplifica para
Como
, segue que
Portanto, para todo
existe
tal que, para
,
Pela definição, isso mostra que
.
Passo 6
Recapitulando de forma bem leve: usei que
é limitada porque converge; escrevi a diferença
como soma de dois termos; controlei cada termo separadamente tornando-os pequenos (menores que
) e somei para ficar menor que
. Assim provei que o produto converge e seu limite é o produto dos limites.
Se quiser um atalho: esta é exatamente a demonstração do lema padrão nas aulas que diz que o limite do produto é o produto dos limites, mas aqui está todo o detalhe epsilônico mastigadinho.
Resposta
Verdadeiro. A sequência
converge e