Prove ou refute as seguintes afirmações:
Se \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\} são sequências convergentes, então \left\{a_{n} b_{n}\right\} é uma sequência convergente.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências convergentes \{a_n\} e \{b_n\}. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Dado: existem a,b\in\mathbb{R} tais que
\lim_{n\to\infty} a_n = a \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty} b_n = b.
  • Pergunta: a sequência \{a_n b_n\} converge? Se sim, qual é o seu limite?

Passo 2

Para começar, lembro a definição de convergência que vou usar (com bastante calma):
  • A sequência \{x_n\} converge para x significa que: para todo \varepsilon>0 existe N \in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_n - x| < \varepsilon.
Também uso um fato útil e simples, com sua prova curta: toda sequência convergente é limitada (bounded).
Prova do fato (rápida): seja \{x_n\} com \lim x_n = x. Tome \varepsilon=1. Então existe N tal que, para n\ge N, |x_n-x|<1, isto é |x_n| \le |x|+1. Para os índices finitos n< N podemos tomar o máximo dos valores absolutos. Assim existe M tal que |x_n|\le M para todo n. Portanto convergência implica sequência limitada.
Aplicando isso ao nosso caso, como \{b_n\} converge para b, existe M>0 tal que
|b_n| \le M \quad\text{para todo } n.

Passo 3

Agora preparo o coração da prova: quero mostrar que a_n b_n \to ab. Então pego a diferença e faço uma manipulação algébrica que é padrão e muito útil:
a_n b_n - ab = (a_n - a) b_n + a(b_n - b).
Isto é apenas uma expansão e está correta — dá para verificar distribuindo.
A partir daí tiro a desigualdade triangular (muito usada em provas com \varepsilon):
|a_n b_n - ab| \le |a_n - a|\,|b_n| + |a|\,|b_n - b|.

Passo 4

Já sabemos que |b_n| \le M para todo n. Então a primeira parcela fica controlada por M:
|a_n - a|\,|b_n| \le M\,|a_n - a|.
A segunda parcela é |a|\,|b_n - b|.
A ideia agora é: dado \varepsilon>0, escolher N grande o suficiente para que cada parcela seja menor que \varepsilon/2. Assim a soma será <\varepsilon e teremos a convergência.

Passo 5

Formalizo a escolha de N.
Seja \varepsilon>0. Como a_n\to a, existe N_1 tal que, para todo n\ge N_1,
|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2M}.
(Isto é possível porque M>0 e pela definição de limite de a_n.)
Como b_n\to b, existe N_2 tal que, para todo n\ge N_2,
|b_n - b| < \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}.
Note que usei |a|+1 no denominador para cobrir o caso a=0 sem problemas (assim o denominador nunca é zero).
Agora tomo N = \max\{N_1,N_2\}. Para todo n\ge N temos simultaneamente as duas desigualdades acima. Então, usando os limites e as desigualdades anteriores,
|a_n b_n - ab| \le M\,|a_n - a| + |a|\,|b_n - b| < M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} + |a|\cdot\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}.
Isto simplifica para
|a_n b_n - ab| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{|a|}{|a|+1}\cdot\frac{\varepsilon}{2}.
Como \dfrac{|a|}{|a|+1} < 1, segue que
|a_n b_n - ab| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para n\ge N,
|a_n b_n - ab| < \varepsilon.
Pela definição, isso mostra que \lim_{n\to\infty} a_n b_n = ab.

Passo 6

Recapitulando de forma bem leve: usei que b_n é limitada porque converge; escrevi a diferença a_n b_n - ab como soma de dois termos; controlei cada termo separadamente tornando-os pequenos (menores que \varepsilon/2) e somei para ficar menor que \varepsilon. Assim provei que o produto converge e seu limite é o produto dos limites.
Se quiser um atalho: esta é exatamente a demonstração do lema padrão nas aulas que diz que o limite do produto é o produto dos limites, mas aqui está todo o detalhe epsilônico mastigadinho.

Resposta

Verdadeiro. A sequência \{a_n b_n\} converge e
\lim_{n\to\infty} a_n b_n = \left(\lim_{n\to\infty} a_n\right)\left(\lim_{n\to\infty} b_n\right) = ab.

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