Numa indústria, uma chaminé de aço tubular de 2 m de comprimento é feita com fibrocimento e por ela é liberado vapores com a temperatura média de 150^{\circ} \mathrm{C}. O raio interno dessa chaminé é de 0,10 \mathrm{~m} e o raio externo de 0,15 \mathrm{~m}. Determine a temperatura de infinito nas proximidades dessa chaminé, visto que o coeficiente de convecção/irradiação combinado interno seja de 2 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C} e o externo combinado seja de 1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}. Considere que a perda de calor pelas paredes da chaminé seja de 110 W . Considere o valor de \mathrm{k}=1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} para o fibrocimento.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a temperatura do infinito nas proximidades da chaminé, isto é, a temperatura ambiente distante T_\infty que faz com que a chaminé perca 110\\ \mathrm{W} nas condições dadas.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{comprimento:}\quad L = 2\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura do vapor (fluido interno):}\quad T_\text{vapor} = 150^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{raio interno:}\quad r_i = 0{,}10\\ \mathrm{m},\\\ &\text{raio externo:}\quad r_o = 0{,}15\\ \mathrm{m},\\\ &\text{fluxo de calor (perda total):}\quad Q = 110\\ \mathrm{W},\\\ &\text{coeficiente conv./irrad. combinado interno:}\quad h_i = 2\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)},\\\ &\text{coeficiente conv./irrad. combinado externo:}\quad h_o = 1\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)},\\\ &\text{condutividade térmica do fibrocimento:}\quad k = 1\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}. \end{aligned}é

Passo 2

Entendendo o caminho do calor (analogia elétrica) e fórmulas que vamos usar.
O calor sai do vapor quente e vai para o ambiente passando por três “resistências térmicas” em série:
  1. convecção interna entre o vapor e a superfície interna da chaminé;
  2. condução radial através da parede cilíndrica (fibrocimento);
  3. convecção externa entre a superfície externa e o ambiente.
A expressão que relaciona Q, T_\text{vapor}, T_\infty e a resistência total R_\text{tot} é
Q=\frac{T_\text{vapor}-T_\infty}{R_\text{tot}}.
Portanto
T_\infty = T_\text{vapor} - Q\,R_\text{tot}.
Agora as fórmulas das resistências:
  • resistência convectiva em uma superfície de área A:
R_\text{conv}=\frac{1}{hA},
onde h é o coeficiente convectivo e A é a área da superfície (em m^2).
  • resistência de condução radial em uma parede cilíndrica entre r_i e r_o:
R_\text{cond}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}{2\pi k L},
onde k é a condutividade térmica e L o comprimento do cilindro.
A resistência total é a soma:
R_\text{tot}= \frac{1}{h_i A_i} + \frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k L} + \frac{1}{h_o A_o}.

Passo 3

Calcular as áreas das superfícies interna e externa (áreas laterais de cilindros), usando A=2\pi r L.
Área interna:
A_i = 2\pi r_i L = 2\pi(0{,}10)(2)=0{,}4\pi\\ \mathrm{m^2}.
Área externa:
A_o = 2\pi r_o L = 2\pi(0{,}15)(2)=0{,}6\pi\\ \mathrm{m^2}.
Se quiser valores numéricos aproximados:
A_i \approx 0{,}4\pi \approx 1{,}2566\\ \mathrm{m^2}, \qquad A_o \approx 0{,}6\pi \approx 1{,}88496\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Calcular cada resistência térmica com explicações passo a passo.
  1. Resistência convectiva interna:
h_i A_i = 2\cdot 0{,}4\pi = 0{,}8\pi \approx 2{,}5133\\ \mathrm{W/^\circ C},
R_{\text{conv},i}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{0{,}8\pi}\approx 0{,}3979\\ ^\circ\mathrm{C/W}.
Explicação rápida: quanto maior h_i ou A_i, menor a resistência convectiva; aqui h_i é pequeno, então a resistência interna é significativa.
  1. Resistência de condução radial na parede:
    Primeiro calcule o argumento do logaritmo:
\frac{r_o}{r_i}=\frac{0{,}15}{0{,}10}=1{,}5, \qquad \ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right)=\ln(1{,}5)\approx 0{,}405465.
Agora
R_\text{cond}=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k L}=\frac{0{,}405465}{2\pi\cdot 1\cdot 2}=\frac{0{,}405465}{4\pi}\approx 0{,}03228\\ ^\circ\mathrm{C/W}.
Comentário: essa resistência é bastante pequena porque a parede é relativamente fina e o material tem k=1.
  1. Resistência convectiva externa:
h_o A_o = 1\cdot 0{,}6\pi = 0{,}6\pi \approx 1{,}88496\\ \mathrm{W/^\circ C},
R_{\text{conv},o}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{0{,}6\pi}\approx 0{,}5305\\ ^\circ\mathrm{C/W}.
Comentário: como h_o é ainda menor que h_i, a resistência externa é a maior componente aqui.

Passo 5

Somar as resistências para obter R_\text{tot} e determinar T_\infty.
Somando:
R_\text{tot}=R_{\text{conv},i}+R_\text{cond}+R_{\text{conv},o}\approx 0{,}3979 + 0{,}03228 + 0{,}5305 \approx 0{,}9607\\ ^\circ\mathrm{C/W}.
Usando a relação entre Q, temperaturas e resistência:
T_\infty = T_\text{vapor} - Q\,R_\text{tot}.
Substituindo valores:
T_\infty = 150^\circ\mathrm{C} - 110\\ \mathrm{W}\times 0{,}9607\\ ^\circ\mathrm{C/W}.
Calcule o produto:
110\times 0{,}9607 \approx 105{,}677\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto
T_\infty \approx 150 - 105{,}677 \approx 44{,}323^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma razoável (uma casa decimal):
T_\infty \approx 44{,}3^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_\infty \approx 44{,}3^\circ\mathrm{C}

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