Para os campos de velocidade dados abaixo, determine: vec{V}=a x \hat{i}+\left[e^{b r}\right] \hat{j}+a y \hat{k}
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{V} = a x\,\hat{i} + \left[e^{b r}\right]\,\hat{j} + a y\,\hat{k}
e nos pede para determinar propriedades do campo. Vou assumir que o que se quer é calcular a divergência e o rotacional (vorticidade) do campo — que são as perguntas típicas para um campo de velocidade.
Observações e hipóteses importantes (não posso perguntar, então explico minha escolha): vou assumir que \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\; (a distância radial padrão no espaço). Se o seu enunciado usou outro significado para r (por exemplo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em coordenadas cilíndricas), os cálculos mudam e eu avisaria. Aqui seguirei com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Informações dadas:
V_x = a x,\qquad V_y = e^{b r},\qquad V_z = a y,
com a e b constantes e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Passo 2
Lembrete didático sobre divergência: a divergência de um campo vetorial \mathbf{V}=(V_x,V_y,V_z) é definida por
Cada termo é uma derivada parcial — ou seja, derivamos em relação à variável indicada mantendo as outras fixas. Vou aplicar isso componente a componente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais para a divergência:
\displaystyle \frac{\partial V_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(a x)=a. Aqui usei que a é constante e a derivada de x em relação a x é 1.
\displaystyle \frac{\partial V_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(a y)=0, porque a y não depende de z (tratamos y como constante ao derivar em z).
Agora \displaystyle \frac{\partial V_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{b r}\right). Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{b r} em relação a y é e^{b r} vezes a derivada do expoente b r em relação a y. Ou seja,
Comentário prático: essa expressão está bem definida para r\neq 0. Em r=0 aparece a divisão por r e devemos tratar esse ponto com cuidado (limites). Para a maioria das aplicações práticas, consideramos pontos com r>0.
Passo 5
Agora vamos ao rotacional (vorticidade). Lembrete didático: o rotacional de \mathbf{V} é o vetor
\nabla\times\mathbf{V}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] V_x & V_y & V_z \end{vmatrix},
Observações: assim como na divergência, existe singularidade aparente em r=0. Em pontos com r>0 a expressão é válida. Em geral, para constantes genéricas a e b o campo não é irrotacional (\nabla\times\mathbf{V}\neq\mathbf{0}) nem incompressível (\nabla\cdot\mathbf{V}\neq 0). Casos especiais:
Se quisermos incompressibilidade globalmente, precisaríamos de a + b\,e^{b r}\frac{y}{r}=0 para todo (x,y,z), o que não é possível para constantes a,b exceto no caso trivial a=0 e b=0.
Se a=0 e b=0 aparece \nabla\cdot\mathbf{V}=0 e \nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{0}. Outros valores exigem condições pontuais (por exemplo em pontos com x=0 e z=a r e^{-b r}/b algumas componentes podem se anular).
Geralmente o campo é compressível e rotacional (ou seja, \nabla\cdot\mathbf{V}\neq0 e \nabla\times\mathbf{V}\neq\mathbf{0} para valores genéricos de a,b e pontos com r>0).