Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
vec{V}=a x \hat{i}+\left[e^{b r}\right] \hat{j}+a y \hat{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{V} = a x\,\hat{i} + \left[e^{b r}\right]\,\hat{j} + a y\,\hat{k}
e nos pede para determinar propriedades do campo. Vou assumir que o que se quer é calcular a divergência e o rotacional (vorticidade) do campo — que são as perguntas típicas para um campo de velocidade.
Observações e hipóteses importantes (não posso perguntar, então explico minha escolha): vou assumir que \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\; (a distância radial padrão no espaço). Se o seu enunciado usou outro significado para r (por exemplo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em coordenadas cilíndricas), os cálculos mudam e eu avisaria. Aqui seguirei com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Informações dadas:
V_x = a x,\qquad V_y = e^{b r},\qquad V_z = a y,
com a e b constantes e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 2

Lembrete didático sobre divergência: a divergência de um campo vetorial \mathbf{V}=(V_x,V_y,V_z) é definida por
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}.
Cada termo é uma derivada parcial — ou seja, derivamos em relação à variável indicada mantendo as outras fixas. Vou aplicar isso componente a componente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais para a divergência:
  • \displaystyle \frac{\partial V_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(a x)=a. Aqui usei que a é constante e a derivada de x em relação a x é 1.
  • \displaystyle \frac{\partial V_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(a y)=0, porque a y não depende de z (tratamos y como constante ao derivar em z).
  • Agora \displaystyle \frac{\partial V_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{b r}\right). Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{b r} em relação a y é e^{b r} vezes a derivada do expoente b r em relação a y. Ou seja,
\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{b r}\right)=e^{b r}\cdot b\cdot\frac{\partial r}{\partial y}.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, temos
\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}.
Portanto
\frac{\partial V_y}{\partial y}=b\,e^{b r}\,\frac{y}{r}.

Passo 4

Somando os termos, a divergência fica
\nabla\cdot\mathbf{V}=a + b\,e^{b r}\,\frac{y}{r}.
Comentário prático: essa expressão está bem definida para r\neq 0. Em r=0 aparece a divisão por r e devemos tratar esse ponto com cuidado (limites). Para a maioria das aplicações práticas, consideramos pontos com r>0.

Passo 5

Agora vamos ao rotacional (vorticidade). Lembrete didático: o rotacional de \mathbf{V} é o vetor
\nabla\times\mathbf{V}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] V_x & V_y & V_z \end{vmatrix},
o que dá, componente a componente,
\begin{aligned} (\nabla\times\mathbf{V})_x &= \frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z},\\[4pt] (\nabla\times\mathbf{V})_y &= \frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x},\\[4pt] (\nabla\times\mathbf{V})_z &= \frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}. \end{aligned}
Vou calcular cada uma com calma.]

Passo 6

Cálculo da componente x do rotacional:
  • \displaystyle \frac{\partial V_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(a y)=a.
  • \displaystyle \frac{\partial V_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(e^{b r}\right)=e^{b r}\cdot b\cdot\frac{\partial r}{\partial z}=b\,e^{b r}\frac{z}{r}.
    Portanto
(\nabla\times\mathbf{V})_x = a - b\,e^{b r}\frac{z}{r}.

Passo 7

Cálculo da componente y do rotacional:
  • \displaystyle \frac{\partial V_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(a x)=0, pois a x não depende de z.
  • \displaystyle \frac{\partial V_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(a y)=0, pois a y não depende de x.
    Logo
(\nabla\times\mathbf{V})_y = 0 - 0 = 0.

Passo 8

Cálculo da componente z do rotacional:
  • \displaystyle \frac{\partial V_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{b r}\right)=e^{b r}\cdot b\cdot\frac{\partial r}{\partial x}=b\,e^{b r}\frac{x}{r}.
  • \displaystyle \frac{\partial V_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(a x)=0.
    Portanto
(\nabla\times\mathbf{V})_z = b\,e^{b r}\frac{x}{r}.

Passo 9

Reunindo as componentes, o rotacional é
\nabla\times\mathbf{V}=\left(a - b\,e^{b r}\frac{z}{r}\right)\hat{i} + 0\,\hat{j} + \left(b\,e^{b r}\frac{x}{r}\right)\hat{k}.
Observações: assim como na divergência, existe singularidade aparente em r=0. Em pontos com r>0 a expressão é válida. Em geral, para constantes genéricas a e b o campo não é irrotacional ( \nabla\times\mathbf{V}\neq\mathbf{0}) nem incompressível ( \nabla\cdot\mathbf{V}\neq 0). Casos especiais:
  • Se quisermos incompressibilidade globalmente, precisaríamos de a + b\,e^{b r}\frac{y}{r}=0 para todo (x,y,z), o que não é possível para constantes a,b exceto no caso trivial a=0 e b=0.
  • Se a=0 e b=0 aparece \nabla\cdot\mathbf{V}=0 e \nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{0}. Outros valores exigem condições pontuais (por exemplo em pontos com x=0 e z=a r e^{-b r}/b algumas componentes podem se anular).

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{V}=a + b\,e^{b r}\dfrac{y}{r}
\nabla\times\mathbf{V}=\left(a - b\,e^{b r}\dfrac{z}{r}\right)\hat{i} + 0\,\hat{j} + \left(b\,e^{b r}\dfrac{x}{r}\right)\hat{k}
Geralmente o campo é compressível e rotacional (ou seja, \nabla\cdot\mathbf{V}\neq0 e \nabla\times\mathbf{V}\neq\mathbf{0} para valores genéricos de a,b e pontos com r>0).

Exercícios relacionados