Reações exotérmicas são bastante comuns nos laboratórios, um exemplo é quando adicionamos ácido junto à água liberando calor. Para uma situação usual de uma determinada indústria farmacêutica, para as suas análises de qualidade, são utilizados balões volumétricos cujo raio interno seja de 100 mm e o externo de 102 mm , contudo, quando a reação ocorre, a parede interna do balão atinge a temperatura de 80^{\circ} \mathrm{C} e a externa fica com 50^{\circ} \mathrm{C} durante o momento em que fica praticamente no regime permanente, emitindo uma potência de 4840 W . Assuma que os balões em questão sejam perfeitamente esféricos.
a) Determine o coeficiente de condutibilidade térmica do material que do qual é feito o balão volumétrico.
b) Por razões de segurança, é solicitado um recobrimento desse balão com um outro material a fim de que a temperatura de sua superfície seja de 30^{\circ} \mathrm{C}. Se o material utilizado fosse uma resina resistiva termicamente \mathrm{k}=0,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}., qual seria essa espessura? Dê a resposta em \mu \mathrm{m}

Passo 1

Dados fornecidos (vou listar tudo em TeX para ficar certinho):
  • Raio interno do balão: r_i=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do balão: r_o=102\\ \mathrm{mm}=0{,}102\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da superfície interna (lado do líquido): T_i=80^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície externa (do material, antes do recobrimento): T_o=50^\circ\mathrm{C}.
  • Potência térmica emitida (fluxo de calor total, em regime estacionário): Q=4840\\ \mathrm{W}.
  • Para a parte (b): camada de recobrimento com condutividade térmica k_{\text{resina}}=0{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C} deve fazer com que a temperatura da superfície externa do recobrimento seja 30^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
a) Determinar o coeficiente de condutividade térmica k do material do balão.
b) Determinar a espessura do recobrimento (em \mu\mathrm{m}) necessário para que a superfície externa fique a 30^\circ\mathrm{C}, sabendo k_{\text{resina}}=0{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Formulação física e derivação da expressão de condução radial em uma casca esférica (aula curtinha, passo a passo).
  • Em regime permanente, o fluxo de calor radial Q é constante e, pela Lei de Fourier em coordenadas esféricas, para uma esfera com condutividade k e área superficial A(r)=4\pi r^2, temos
-q_r = k A(r)\frac{dT}{dr} = k \cdot 4\pi r^2 \frac{dT}{dr}.
Aqui q_r é o fluxo instantâneo atravessando a superfície esférica de raio r; em regime estacionário q_r é igual a Q (constante).
  • Reescrevendo e separando variáveis:
-k\cdot 4\pi r^2 \frac{dT}{dr} = Q \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{dr} = -\frac{Q}{4\pi k}\frac{1}{r^2}.
  • Integramos de r=r_i (temperatura T_i) até r=r_o (temperatura T_o):
\int_{T_i}^{T_o} dT = -\frac{Q}{4\pi k}\int_{r_i}^{r_o}\frac{dr}{r^2}.
  • As integrais dão
T_o - T_i = -\frac{Q}{4\pi k}\left(-\frac{1}{r}\right)\Big|_{r_i}^{r_o} = -\frac{Q}{4\pi k}\left(-\frac{1}{r_o} + \frac{1}{r_i}\right).
  • Rearranjando para obter Q:
Q = 4\pi k\,(T_i-T_o)\left(\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_o}\right)^{-1}\quad\text{ou equivalentemente}\quad Q = \frac{4\pi k (T_i-T_o)}{\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}}.
  • É prática comum definir a resistência térmica da casca esférica:
R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\right),
e então Q=(T_i-T_o)/R_{\text{cond}}.
Explicação das variáveis usadas:
  • Q é o fluxo de calor total (W).
  • k é a condutividade térmica que queremos achar (W/m·°C).
  • T_i,T_o são temperaturas nas superfícies interna e externa (°C).
  • r_i,r_o são os raios interno e externo (m).

Passo 3

Cálculo de k (parte a). Isolamos k na expressão:
k = \frac{Q\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}\right)}{4\pi (T_i-T_o)}.
Agora substituímos os valores (lembre que já converti mm para m no Passo 1):
  • Primeiro calculemos \dfrac{1}{r_i} e \dfrac{1}{r_o}:
\frac{1}{r_i}=\frac{1}{0{,}100}=10{,}000\\ \mathrm{m}^{-1}, \qquad \frac{1}{r_o}=\frac{1}{0{,}102}\approx 9{,}8039215686\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Diferença:
\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\approx 10{,}000-9{,}8039215686=0{,}1960784314\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Produto Q vezes essa diferença:
Q\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\right)=4840\cdot 0{,}1960784314\approx 948{,}2352941.
  • Denominador 4\pi (T_i-T_o):
4\pi (T_i-T_o)=4\pi\cdot(80-50)=4\pi\cdot 30=120\pi\approx 376{,}9911184.
  • Dividindo para obter k:
k \approx \frac{948{,}2352941}{376{,}9911184}\approx 2{,}51472\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando com sentido físico e de apresentação (duas ou três casas significativas é razoável aqui), tomamos k\approx 2{,}515\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

Interpretação curta do resultado da parte (a):
  • O valor k\approx 2{,}515\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C} é compatível com materiais de vidro cerâmico/vidro técnico ou alguns polímeros reforçados; faz sentido para um balão volumétrico industrial (só para termos uma intuição).

Passo 5

Preparando a parte (b): recobrimento externo com resina.
  • Agora temos duas cascas concêntricas em série (o corpo do balão, já com sua espessura, e por fora a resina). Em regime estacionário o fluxo Q que sai do metal passa pela camada de resina e chega à superfície externa à temperatura desejada T_s=30^\circ\mathrm{C}.
  • Para a resina (camada entre r_1=r_o=0{,}102\\ \mathrm{m} e r_2=r_o+\delta, onde \delta é a espessura que queremos), a expressão de condução esférica vale:
Q=\frac{4\pi k_{\text{resina}}\,(T_{1}-T_{s})}{\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}},
onde T_1 é a temperatura na superfície externa do metal (fornecida: T_1=T_o=50^\circ\mathrm{C}) e T_s=30^\circ\mathrm{C}.
  • Isolamos \dfrac{1}{r_2}:
\frac{1}{r_2}=\frac{1}{r_1}-\frac{4\pi k_{\text{resina}}(T_1-T_s)}{Q}.
  • Então
r_2=\frac{1}{\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{4\pi k_{\text{resina}}(T_1-T_s)}{Q}}, \quad\text{e}\quad \delta=r_2-r_1.
Explicação: a fórmula vem da mesma integração feita antes, aplicada só à camada de resina; estamos forçando a diferença de temperatura T_1-T_s a produzir exatamente o fluxo Q.

Passo 6

Cálculos numéricos para encontrar \delta.
  • Substituindo numéricos: r_1=0{,}102\\ \mathrm{m}, k_{\text{resina}}=0{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C}, T_1-T_s=50-30=20\\ \mathrm{K}, Q=4840\\ \mathrm{W}.
  • Calculemos a parcela
A=\frac{4\pi k_{\text{resina}}(T_1-T_s)}{Q} =\frac{4\pi\cdot 0{,}2\cdot 20}{4840} =\frac{16\pi}{4840}.
Numericamente,
A\approx \frac{50{,}26548246}{4840}\approx 0{,}0103871703\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Então
\frac{1}{r_2}=\frac{1}{0{,}102}-A\approx 9{,}8039215686-0{,}0103871703 =9{,}7935343983\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Logo
r_2=\frac{1}{9{,}7935343983}\approx 0{,}102086424\\ \mathrm{m}.
  • A espessura da resina é
\delta=r_2-r_1\approx 0{,}102086424-0{,}102=0{,}000086424\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Conversão para micrômetros e arredondamento final.
  • Convertendo metros para micrômetros: 1\\ \mathrm{m}=10^6\\ \mu\mathrm{m}, logo
\delta\approx 0{,}000086424\\ \mathrm{m}=86{,}424\\ \mu\mathrm{m}.
  • Arredondando a uma casa decimal (suficiente aqui): \delta\approx 86{,}4\\ \mu\mathrm{m}.

Resposta

k\approx 2{,}515\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C}
\delta\approx 86{,}4\\ \mu\mathrm{m}

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