Reações exotérmicas são bastante comuns nos laboratórios, um exemplo é quando adicionamos ácido junto à água liberando calor. Para uma situação usual de uma determinada indústria farmacêutica, para as suas análises de qualidade, são utilizados balões volumétricos cujo raio interno seja de 100 mm e o externo de 102 mm , contudo, quando a reação ocorre, a parede interna do balão atinge a temperatura de 80^{\circ} \mathrm{C} e a externa fica com 50^{\circ} \mathrm{C} durante o momento em que fica praticamente no regime permanente, emitindo uma potência de 4840 W . Assuma que os balões em questão sejam perfeitamente esféricos.
a) Determine o coeficiente de condutibilidade térmica do material que do qual é feito o balão volumétrico.
b) Por razões de segurança, é solicitado um recobrimento desse balão com um outro material a fim de que a temperatura de sua superfície seja de 30^{\circ} \mathrm{C}. Se o material utilizado fosse uma resina resistiva termicamente \mathrm{k}=0,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}., qual seria essa espessura? Dê a resposta em \mu \mathrm{m}
Passo 1
Dados fornecidos (vou listar tudo em TeX para ficar certinho):
Raio interno do balão: r_i=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
Raio externo do balão: r_o=102\\ \mathrm{mm}=0{,}102\\ \mathrm{m}.
Temperatura da superfície interna (lado do líquido): T_i=80^\circ\mathrm{C}.
Temperatura da superfície externa (do material, antes do recobrimento): T_o=50^\circ\mathrm{C}.
Potência térmica emitida (fluxo de calor total, em regime estacionário): Q=4840\\ \mathrm{W}.
Para a parte (b): camada de recobrimento com condutividade térmica k_{\text{resina}}=0{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C} deve fazer com que a temperatura da superfície externa do recobrimento seja 30^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
a) Determinar o coeficiente de condutividade térmica k do material do balão.
b) Determinar a espessura do recobrimento (em \mu\mathrm{m}) necessário para que a superfície externa fique a 30^\circ\mathrm{C}, sabendo k_{\text{resina}}=0{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C}.
Passo 2
Formulação física e derivação da expressão de condução radial em uma casca esférica (aula curtinha, passo a passo).
Em regime permanente, o fluxo de calor radial Q é constante e, pela Lei de Fourier em coordenadas esféricas, para uma esfera com condutividade k e área superficial A(r)=4\pi r^2, temos
-q_r = k A(r)\frac{dT}{dr} = k \cdot 4\pi r^2 \frac{dT}{dr}.
Aqui q_r é o fluxo instantâneo atravessando a superfície esférica de raio r; em regime estacionário q_r é igual a Q (constante).
k \approx \frac{948{,}2352941}{376{,}9911184}\approx 2{,}51472\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando com sentido físico e de apresentação (duas ou três casas significativas é razoável aqui), tomamos k\approx 2{,}515\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C}.
Passo 4
Interpretação curta do resultado da parte (a):
O valor k\approx 2{,}515\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C} é compatível com materiais de vidro cerâmico/vidro técnico ou alguns polímeros reforçados; faz sentido para um balão volumétrico industrial (só para termos uma intuição).
Passo 5
Preparando a parte (b): recobrimento externo com resina.
Agora temos duas cascas concêntricas em série (o corpo do balão, já com sua espessura, e por fora a resina). Em regime estacionário o fluxo Q que sai do metal passa pela camada de resina e chega à superfície externa à temperatura desejada T_s=30^\circ\mathrm{C}.
Para a resina (camada entre r_1=r_o=0{,}102\\ \mathrm{m} e r_2=r_o+\delta, onde \delta é a espessura que queremos), a expressão de condução esférica vale:
Explicação: a fórmula vem da mesma integração feita antes, aplicada só à camada de resina; estamos forçando a diferença de temperatura T_1-T_s a produzir exatamente o fluxo Q.