Uma chapa para a preparação de lanches possui emissividade de radiação integral, onde na sua superfície a temperatura é de 100^{\circ} \mathrm{C} enquanto a temperatura te infinito no interior do trailer é de 30^{\circ} \mathrm{C}. Essa chapa dissipa 500 W e possui uma área de 0,5 \mathrm{~m}^{2}. Determine os valores dos coeficientes de h_{\text {irradiação e }} h_{\text {convecção }}çãçã para a situação descrita.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os coeficientes de troca térmica por radiação e por convecção:
  • Temperatura da superfície da chapa: \,100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar “no infinito” (interior do trailer): \,30^\circ\mathrm{C}.
  • Potência dissipada pela chapa: \,500\\ \mathrm{W}.
  • Área da chapa: \,0,5\\ \mathrm{m}^2.
  • É informada “emissividade de radiação integral” — vou assumir que isso significa emissividade igual a 1 (corpo negro), ou seja \epsilon=1. (Não tenho outro valor no enunciado, então uso essa suposição.)
  • O enunciado pede os valores de h_{\text{irradiação}}çã e h_{\text{convecção}}çã.

Passo 2

Converter temperaturas para Kelvin (obrigatório nas fórmulas de radiação):
  • Para transformar graus Celsius em Kelvin somamos 273,15.
  • Assim,
T_s = 100^\circ\mathrm{C} = 100 + 273,15 = 373,15\\ \mathrm{K},
T_\infty = 30^\circ\mathrm{C} = 30 + 273,15 = 303,15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Entender como a radiação é tratada em forma de “coeficiente convectivo equivalente” (linearização):
  • A lei de Stefan–Boltzmann dá o fluxo radiativo (por unidade de área) entre superfície e ambiente como
\dot{q}_{\text{rad}} = \epsilon\,\sigma\left(T_s^4 - T_\infty^4\right),
onde \epsilon é a emissividade e \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann.
  • \sigma vale aproximadamente
\sigma = 5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • Para comparar com convecção, linearizamos a expressão escrevendo \dot{q}_{\text{rad}} = h_{\text{irrad}}(T_s - T_\infty). Fatorando a diferença de potências:
T_s^4 - T_\infty^4 = (T_s - T_\infty)\left(T_s^3 + T_s^2T_\infty + T_sT_\infty^2 + T_\infty^3\right).
  • Assim o coeficiente linearizado de radiação é
\boxed{\,h_{\text{irrad}} = \epsilon\,\sigma\left(T_s^3 + T_s^2T_\infty + T_sT_\infty^2 + T_\infty^3\right).\,}
(Equivalente à forma \epsilon\sigma(T_s^2+T_\infty^2)(T_s+T_\infty).)

Passo 4

Calcular numericamente h_{\text{irrad}} usando \epsilon=1, \sigma indicado e as temperaturas em K.
Primeiro calcule as potências ao quadrado e a soma necessária (mostro os valores numéricos):
T_s^2 = 373,15^2 = 139240,9225\\ \mathrm{K^2},
T_\infty^2 = 303,15^2 = 91899,9225\\ \mathrm{K^2},
T_s^2 + T_\infty^2 = 231140,8450\\ \mathrm{K^2},
T_s + T_\infty = 373,15 + 303,15 = 676,30\\ \mathrm{K}.
Usando a forma \,h_{\text{irrad}}=\epsilon\,\sigma\,(T_s^2+T_\infty^2)(T_s+T_\infty):
h_{\text{irrad}} = 1\times\left(5,670374419\times10^{-8}\right)\times 231140,8450\times 676,30.
Calcule o produto interno primeiro:
231140,8450\times 676,30 \approx 156320553,47.
Multiplicando por \sigma:
h_{\text{irrad}} \approx 5,670374419\times10^{-8}\times 156320553,47 \approx 8,86\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
(Segundo os algarismos significativos do problema, podemos adotar h_{\text{irrad}}\approx 8,86\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.)

Passo 5

Determinar o coeficiente “total” efetivo a partir da potência dissipada e da diferença de temperatura:
  • A potência por unidade de área (fluxo total) é
\dot{q}_{\text{total}}=\frac{Q}{A}=\frac{500\\ \mathrm{W}}{0,5\\ \mathrm{m^2}}=1000\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Se modelarmos o fluxo total por convecção equivalente mais radiação linearizada,
\dot{q}_{\text{total}} = h_{\text{total}}(T_s - T_\infty),
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h_{\text{total}} = \frac{\dot{q}_{\text{total}}}{T_s - T_\infty}.
  • A diferença de temperatura é
T_s - T_\infty = 373,15 - 303,15 = 70,00\\ \mathrm{K}.
  • Assim
h_{\text{total}} = \frac{1000}{70,00} \approx 14,285714\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 6

Separar a contribuição convectiva:
  • Como h_{\text{total}} = h_{\text{irrad}} + h_{\text{convec}}, isolamos
h_{\text{convec}} = h_{\text{total}} - h_{\text{irrad}}.
  • Substituindo os valores:
h_{\text{convec}} \approx 14,285714 - 8,86 \approx 5,43\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 7

Verificação rápida de consistência e interpretação (breve):
  • Os valores estão na ordem de grandeza esperada para um corpo quente em ar tranquilo: h_{\text{convec}} tipicamente 5 a 20\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}} dependendo do escoamento; aqui temos arredondadamente 5,4, razoável.
  • A radiação contribui significativamente (a maior parte neste caso) porque a superfície está relativamente quente (diferença grande em K^4).

Resposta

h_{\text{irrad}} \approx 8,86\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}
h_{\text{convec}} \approx 5,43\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}

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