Sejam \boldsymbol{X} \mathbf{1}, \boldsymbol{X} \mathbf{2}, \ldots, \boldsymbol{X 7} uma amostra aleatória simples de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma. Considere os seguintes estimadores de \mu :
\begin{aligned} & T_{1}=\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}+X_{6}+X_{7}\right) / 7 \\\ & T_{2}=\left(X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}+X_{6}\right) / 5 \\\ & T_{3}=\left(X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}+X_{6}\right) / 7 \end{aligned}
Indique o melhor estimador de \mu. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória simples de tamanho 7, X_{1},X_{2},\dots,X_{7}, de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma. Define três estimadores de \mu:
\begin{aligned} & T_{1}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}+X_{6}+X_{7}}{7},\\[4pt] & T_{2}=\frac{X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}+X_{6}}{5},\\[4pt] & T_{3}=\frac{X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}+X_{6}}{7}. \end{aligned}
A pergunta é: qual é o melhor estimador de \mu? (Devemos justificar.)]

Passo 2

Vou explicar os conceitos que vamos usar (bem devagarzinho e com jeitinho): expectativa, viés, variância e erro quadrático médio (MSE).
  • Definição de expectativa: para um estimador T, \mathbb{E}[T] é o valor médio que T assume ao repetirmos o processo amostral muitas vezes.
  • Viés (bias): \text{bias}(T)=\mathbb{E}[T]-\mu. Se \text{bias}(T)=0 dizemos que T é um estimador não viciado (unbiased).
  • Variância: \operatorname{Var}(T) mede a variabilidade de T em torno da sua média. Menor variância = estimador mais preciso.
  • Erro quadrático médio (MSE): combina viés e variância:
\operatorname{MSE}(T)=\mathbb{E}[(T-\mu)^{2}]=\operatorname{Var}(T)+\big(\text{bias}(T)\big)^{2}.
Um estimador com menor MSE é melhor em sentido médio; entre estimadores não viciados, o que tem menor variância é preferível.
Também usaremos duas propriedades simples para combinações lineares de X_i (assumindo X_i independentes com \mathbb{E}[X_i]=\mu e \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^{2}):
\mathbb{E}\!\left[\sum a_i X_i\right]=\sum a_i \mathbb{E}[X_i]=\mu\sum a_i,
\operatorname{Var}\!\left(\sum a_i X_i\right)=\sum a_i^{2}\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^{2}\sum a_i^{2}.
(Aqui a_i são constantes; isso vem da linearidade da esperança e da independência para a variância.)

Passo 3

Calculo das expectativas (para ver se os estimadores são viciados ou não). Usei a propriedade linear da esperança:
  • Para T_{1}: todos os pesos são 1/7, logo
\mathbb{E}[T_{1}]=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^{7}\mathbb{E}[X_{i}]=\frac{1}{7}\cdot 7\mu=\mu.
Assim, \text{bias}(T_{1})=0 (não viciado).
  • Para T_{2}: são cinco termos com peso 1/5:
\mathbb{E}[T_{2}]=\frac{1}{5}\sum_{i=2}^{6}\mathbb{E}[X_{i}]=\frac{1}{5}\cdot 5\mu=\mu.
Logo \text{bias}(T_{2})=0 (também não viciado).
  • Para T_{3}: soma cinco termos dividida por 7, então
\mathbb{E}[T_{3}]=\frac{1}{7}\sum_{i=2}^{6}\mathbb{E}[X_{i}]=\frac{1}{7}\cdot 5\mu=\frac{5}{7}\mu.
Portanto \text{bias}(T_{3})=\mathbb{E}[T_{3}]-\mu=\frac{5}{7}\mu-\mu=-\frac{2}{7}\mu, ou seja, T_{3} é viciado.
Resumo até aqui: T_{1} e T_{2} são não viciados; T_{3} é viciado (viés -\tfrac{2}{7}\mu).

Passo 4

Calculo das variâncias; uso a fórmula \operatorname{Var}(\sum a_i X_i)=\sigma^{2}\sum a_i^{2}.
  • Para T_{1}: cada coeficiente é a_i=1/7 para i=1,\dots,7. Então
\operatorname{Var}(T_{1})=\sigma^{2}\cdot 7\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=\sigma^{2}\cdot\frac{7}{49}=\frac{\sigma^{2}}{7}.
  • Para T_{2}: cinco coeficientes iguais 1/5 (os demais zero), logo
\operatorname{Var}(T_{2})=\sigma^{2}\cdot 5\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=\sigma^{2}\cdot\frac{5}{25}=\frac{\sigma^{2}}{5}.
  • Para T_{3}: cinco coeficientes iguais 1/7 e dois zeros, então
\operatorname{Var}(T_{3})=\sigma^{2}\cdot 5\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=\sigma^{2}\cdot\frac{5}{49}=\frac{5\sigma^{2}}{49}.

Passo 5

Comparações diretas entre variâncias e interpretação:
  • Compare \operatorname{Var}(T_{1})=\dfrac{\sigma^{2}}{7} e \operatorname{Var}(T_{2})=\dfrac{\sigma^{2}}{5}. Como \dfrac{1}{7}<\dfrac{1}{5}, temos
\operatorname{Var}(T_{1})<\operatorname{Var}(T_{2}).
Isto é intuitivo: T_{1} usa as 7 observações, T_{2} só usa 5, então T_{1} é mais preciso (menor variância).
  • T_{3} tem variância \dfrac{5\sigma^{2}}{49}\approx 0{,}10204\,\sigma^{2}. Para referência, \operatorname{Var}(T_{1})=\dfrac{\sigma^{2}}{7}\approx 0{,}14286\,\sigma^{2} e \operatorname{Var}(T_{2})=\dfrac{\sigma^{2}}{5}=0{,}2\,\sigma^{2}. Então numericamente a variância de T_{3} é menor que a de T_{1} e T_{2}. Mas lembre-se: T_{3} é viciado, então precisamos olhar para o MSE para comparação completa.

Passo 6

Calculo dos MSEs (para comparar estimadores viciados e não viciados):
  • Como T_{1} e T_{2} são não viciados, \operatorname{MSE}(T_{1})=\operatorname{Var}(T_{1}) e \operatorname{MSE}(T_{2})=\operatorname{Var}(T_{2}). Assim
\operatorname{MSE}(T_{1})=\frac{\sigma^{2}}{7},\qquad \operatorname{MSE}(T_{2})=\frac{\sigma^{2}}{5}.
  • Para T_{3}, usamos \operatorname{MSE}=\operatorname{Var}+\text{bias}^{2}. Então
\operatorname{MSE}(T_{3})=\frac{5\sigma^{2}}{49}+\left(-\frac{2}{7}\mu\right)^{2} =\frac{5\sigma^{2}}{49}+\frac{4\mu^{2}}{49} =\frac{5\sigma^{2}+4\mu^{2}}{49}.
Agora, comparar T_{1} e T_{3}: a diferença
\operatorname{MSE}(T_{3})-\operatorname{MSE}(T_{1}) =\frac{5\sigma^{2}+4\mu^{2}}{49}-\frac{\sigma^{2}}{7} =\frac{5\sigma^{2}+4\mu^{2}-7\sigma^{2}}{49} =\frac{4\mu^{2}-2\sigma^{2}}{49}.
Logo T_{1} tem MSE menor que T_{3} se, e somente se, 4\mu^{2}-2\sigma^{2}<0 (ou seja, 2\mu^{2}<\sigma^{2}). Se 2\mu^{2}>\sigma^{2} então T_{3} pode ter MSE menor que T_{1}. Ou seja, dependendo da relação entre \mu e \sigma, um estimador viciado pode, por causa da baixa variância, ter menor MSE.

Passo 7

Conclusão lógica e final (com justificativa prática para a prova):
  • Entre os estimadores não viciados, T_{1} e T_{2}, o melhor é o que tem menor variância: T_{1} (pois \operatorname{Var}(T_{1})=\sigma^{2}/7<\sigma^{2}/5=\operatorname{Var}(T_{2})). Então, se a preferência for por um estimador não viciado (critério comum em problemas teóricos), T_{1} é o melhor.
  • T_{3} é viciado (viés -\tfrac{2}{7}\mu). Embora sua variância seja pequena, por ser viciado ele pode ou não ser melhor em MSE do que T_{1} dependendo da relação entre \mu e \sigma. Como o enunciado pede indicar o "melhor estimador de \mu" sem condicionar a parâmetros desconhecidos, a escolha natural e segura é o estimador não viciado com menor variância: T_{1}.
Intuitivamente: T_{1} usa todas as 7 observações com pesos iguais (é a média amostral completa), é não viciado e tem variância mínima entre os não viciados — por isso é o estimador preferível na maioria das situações práticas e teóricas.

Resposta

T_{1} é o melhor estimador de \mu.

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