Sejam
uma amostra aleatória simples de uma população com média
e desvio padrão
. Considere os seguintes estimadores de
:
Indique o melhor estimador de
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória simples de tamanho 7,
, de uma população com média
e desvio padrão
. Define três estimadores de
:
A pergunta é: qual é o melhor estimador de
? (Devemos justificar.)]
Passo 2
Vou explicar os conceitos que vamos usar (bem devagarzinho e com jeitinho): expectativa, viés, variância e erro quadrático médio (MSE).
- Definição de expectativa: para um estimador
, é o valor médio que assume ao repetirmos o processo amostral muitas vezes. - Viés (bias):
. Se dizemos que é um estimador não viciado (unbiased). - Variância:
mede a variabilidade de em torno da sua média. Menor variância = estimador mais preciso. - Erro quadrático médio (MSE): combina viés e variância:
Um estimador com menor MSE é melhor em sentido médio; entre estimadores não viciados, o que tem menor variância é preferível.
Também usaremos duas propriedades simples para combinações lineares de
(assumindo
independentes com
e
):
(Aqui
são constantes; isso vem da linearidade da esperança e da independência para a variância.)
Passo 3
Calculo das expectativas (para ver se os estimadores são viciados ou não). Usei a propriedade linear da esperança:
- Para
: todos os pesos são , logo
Assim,
(não viciado).
- Para
: são cinco termos com peso :
Logo
(também não viciado).
- Para
: soma cinco termos dividida por , então
Portanto
, ou seja,
é viciado.
Resumo até aqui:
e
são não viciados;
é viciado (viés
).
Passo 4
Calculo das variâncias; uso a fórmula
.
- Para
: cada coeficiente é para . Então
- Para
: cinco coeficientes iguais (os demais zero), logo
- Para
: cinco coeficientes iguais e dois zeros, então
Passo 5
Comparações diretas entre variâncias e interpretação:
- Compare
e . Como , temos
Isto é intuitivo:
usa as 7 observações,
só usa 5, então
é mais preciso (menor variância).
-
tem variância . Para referência, e . Então numericamente a variância de é menor que a de e . Mas lembre-se: é viciado, então precisamos olhar para o MSE para comparação completa.
Passo 6
Calculo dos MSEs (para comparar estimadores viciados e não viciados):
- Como
e são não viciados, e . Assim
- Para
, usamos . Então
Agora, comparar
e
: a diferença
Logo
tem MSE menor que
se, e somente se,
(ou seja,
). Se
então
pode ter MSE menor que
. Ou seja, dependendo da relação entre
e
, um estimador viciado pode, por causa da baixa variância, ter menor MSE.
Passo 7
Conclusão lógica e final (com justificativa prática para a prova):
-
Entre os estimadores não viciados,
e , o melhor é o que tem menor variância: (pois ). Então, se a preferência for por um estimador não viciado (critério comum em problemas teóricos), é o melhor. -
é viciado (viés ). Embora sua variância seja pequena, por ser viciado ele pode ou não ser melhor em MSE do que dependendo da relação entre e . Como o enunciado pede indicar o "melhor estimador de " sem condicionar a parâmetros desconhecidos, a escolha natural e segura é o estimador não viciado com menor variância: .
Intuitivamente:
usa todas as 7 observações com pesos iguais (é a média amostral completa), é não viciado e tem variância mínima entre os não viciados — por isso é o estimador preferível na maioria das situações práticas e teóricas.