A concentração de um poluente em um lago é dada por:
onde
e
estão em km. O lago ocupa a região circular de raio 2 km centrado na origem.
(a) Determine a quantidade total de poluente no lago.
(b) Interprete fisicamente o resultado.
(a) Determine a quantidade total de poluente no lago.
(b) Interprete fisicamente o resultado.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
- A função concentração é dada por
. - As variáveis
e estão em . - O lago ocupa a região circular centrada na origem com raio
; ou seja a região
O enunciado pede:
(a) determinar a quantidade total de poluente no lago;
(b) interpretar fisicamente o resultado (o que significa esse número).
(a) determinar a quantidade total de poluente no lago;
(b) interpretar fisicamente o resultado (o que significa esse número).
Passo 2
Entendendo matematicamente o que precisamos calcular.
- A “quantidade total de poluente” é obtida integrando a concentração sobre a área do lago: isto é uma integral dupla
- Aqui
é o elemento de área na coordenada cartesiana (unidade: ). Se a concentração tem unidades de massa por área (por ex. ou outra unidade), a integral dará massa (unidade: massa). O enunciado não deu unidade explícita para , então vou manter o resultado em "unidades de concentração ".
Passo 3
Por que usar coordenadas polares e como se faz a troca.
- A região
é um disco centrado na origem; em problemas com simetria circular é muito mais simples usar coordenadas polares em vez de . - Relação entre coordenadas:
com
e
variando de
a
.
- Em polares,
. - O elemento de área em polares não é apenas
: existe um fator Jacobiano igual a . Logo
Explicando o Jacobiano de forma intuitiva: um pequeno retângulo em
tem lados aproximadamente
e
, então a área elemental é
.
Passo 4
Transformar a integral para polares e escrever os limites.
- Substituindo
por polares obtemos . - A região
em polares corresponde a e . - Portanto a integral dupla vira
Passo 5
Calcular a integral interna em
passo a passo.
- Multiplicando o integrando:
- Integrando em
de a :
- Avaliando em
:
Passo 6
Integrar em
e obter o resultado final.
- A integral em
é simples, pois o resultado anterior é constante em :
- Portanto, a quantidade total de poluente no lago é
(em unidades de concentração ).
Passo 7
Interpretação física e decomposição para entender o que contribui para esse total.
- Podemos decompor a integral para ver as contribuições do termo constante
e do termo :
- Soma:
, que confirma o cálculo anterior. - Interpretação física:
- O termo
representa uma concentração de fundo uniforme por toda a superfície do lago; sua contribuição total é . - O termo
representa um acréscimo de concentração que cresce com a distância ao centro (talvez uma fonte periférica ou efeito radial); sua contribuição total é . - A concentração média sobre o lago é a quantidade total dividida pela área:
Ou seja, a concentração média no lago é (nas mesmas unidades da função ). - O termo
Resposta
(a)
(b) A quantidade total de poluente no lago é
(unidades de concentração
). Deste total,
vem do termo de concentração uniforme
e
vem do termo radial
. A concentração média no lago é
.