A concentração de um poluente em um lago é dada por:
c(x, y)=5+x^{2}+y^{2}
onde x e y estão em km. O lago ocupa a região circular de raio 2 km centrado na origem.
(a) Determine a quantidade total de poluente no lago.
(b) Interprete fisicamente o resultado.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A função concentração é dada por c(x,y)=5+x^{2}+y^{2}.
  • As variáveis x e y estão em \mathrm{km}.
  • O lago ocupa a região circular centrada na origem com raio 2\\ \mathrm{km}; ou seja a região
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 2^{2}\}.
O enunciado pede:
(a) determinar a quantidade total de poluente no lago;
(b) interpretar fisicamente o resultado (o que significa esse número).

Passo 2

Entendendo matematicamente o que precisamos calcular.
  • A “quantidade total de poluente” é obtida integrando a concentração sobre a área do lago: isto é uma integral dupla
\text{Quantidade}=\iint_{D} c(x,y)\,dA.
  • Aqui dA é o elemento de área na coordenada cartesiana (unidade: \mathrm{km}^{2}). Se a concentração c tem unidades de massa por área (por ex. \mathrm{kg}/\mathrm{km}^{2} ou outra unidade), a integral dará massa (unidade: massa). O enunciado não deu unidade explícita para c, então vou manter o resultado em "unidades de concentração \times \mathrm{km}^{2}".

Passo 3

Por que usar coordenadas polares e como se faz a troca.
  • A região D é um disco centrado na origem; em problemas com simetria circular é muito mais simples usar coordenadas polares (r,\theta) em vez de (x,y).
  • Relação entre coordenadas:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta variando de 0 a 2\pi.
  • Em polares, x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • O elemento de área em polares não é apenas dr\,d\theta: existe um fator Jacobiano igual a r. Logo
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicando o Jacobiano de forma intuitiva: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área elemental é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Transformar a integral para polares e escrever os limites.
  • Substituindo c(x,y)=5+x^{2}+y^{2} por polares obtemos c(r,\theta)=5+r^{2}.
  • A região D em polares corresponde a 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.
  • Portanto a integral dupla vira
\text{Quantidade}=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\bigl(5+r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r passo a passo.
  • Multiplicando o integrando:
\bigl(5+r^{2}\bigr)r = 5r + r^{3}.
  • Integrando em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\bigl(5r + r^{3}\bigr)\,dr = \left[\frac{5r^{2}}{2} + \frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2}.
  • Avaliando em r=2:
\frac{5\cdot 2^{2}}{2} + \frac{2^{4}}{4} = \frac{5\cdot 4}{2} + \frac{16}{4} = \frac{20}{2} + 4 = 10 + 4 = 14.

Passo 6

Integrar em \theta e obter o resultado final.
  • A integral em \theta é simples, pois o resultado anterior é constante em \theta:
\text{Quantidade}=\int_{0}^{2\pi} 14\,d\theta = 14\cdot(2\pi)=28\pi.
  • Portanto, a quantidade total de poluente no lago é 28\pi (em unidades de concentração \times \mathrm{km}^{2}).

Passo 7

Interpretação física e decomposição para entender o que contribui para esse total.
  • Podemos decompor a integral para ver as contribuições do termo constante 5 e do termo x^{2}+y^{2}=r^{2}:
\iint_{D}5\,dA = 5\cdot\text{Área}(D)=5\cdot(\pi\cdot 2^{2})=20\pi,Á
\iint_{D}r^{2}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot 4 = 8\pi.
  • Soma: 20\pi + 8\pi = 28\pi, que confirma o cálculo anterior.
  • Interpretação física:
    • O termo 5 representa uma concentração de fundo uniforme por toda a superfície do lago; sua contribuição total é 20\pi.
    • O termo r^{2} representa um acréscimo de concentração que cresce com a distância ao centro (talvez uma fonte periférica ou efeito radial); sua contribuição total é 8\pi.
    • A concentração média sobre o lago é a quantidade total dividida pela área:
    \bar c = \frac{28\pi}{\text{Área}(D)} = \frac{28\pi}{4\pi}=7.ÁOu seja, a concentração média no lago é 7 (nas mesmas unidades da função c).

Resposta

(a) 28\pi
(b) A quantidade total de poluente no lago é 28\pi (unidades de concentração \times \mathrm{km}^{2}). Deste total, 20\pi vem do termo de concentração uniforme 5 e 8\pi vem do termo radial x^{2}+y^{2}. A concentração média no lago é \bar c=7.

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