Uma indústria fabrica três tipos de caixa. Testa-se a resistência de cada caixa, tomando-se uma amostra de 100 caixas e determinando-se a pressão necessária para romper cada caixa. Os resultados dos testes são:
Tipos de caixas A B C
Pressão média de ruptura (bária) 150 200 300
Desvio-padrão das pressões (bária) 40 50 60
a) Que tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura? Justifique.
b) Que tipo de caixa apresenta a maior variação relativa na pressão de ruptura? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Identificar qual tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura e justificar.
b) Identificar qual tipo de caixa apresenta a maior variação relativa na pressão de ruptura e justificar.
Informações fornecidas (peguei esses dados da tabela do enunciado):
  • tamanho da amostra: 100 caixas (cada tipo testado).
  • Para o tipo A: pressão média \bar{x}_A = 150 bária e desvio-padrão s_A = 40 bária.
  • Para o tipo B: pressão média \bar{x}_B = 200 bária e desvio-padrão s_B = 50 bária.
  • Para o tipo C: pressão média \bar{x}_C = 300 bária e desvio-padrão s_C = 60 bária.

Passo 2

Entender o que é “variação absoluta” e que medida usar.
  • A variação absoluta costuma ser medida pelo desvio-padrão. Vou explicar o porquê e o que é desvio-padrão.
  • O desvio-padrão é uma medida que diz, em média, o quanto as observações se afastam da média. Tem a mesma unidade dos dados (aqui: bária), por isso é chamado “absoluto” — ele mede dispersão em unidades concretas.
  • Definição (fórmula do desvio-padrão amostral):
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde n é o número de observações, x_i cada observação e \bar{x} a média amostral.
  • Observação: o enunciado já deu s para cada tipo, então não precisamos calcular a partir dos dados individuais — apenas comparar os s fornecidos.

Passo 3

Comparar os desvios-padrão (variação absoluta) dados:
  • s_A = 40 bária, s_B = 50 bária, s_C = 60 bária.
  • Como o desvio-padrão mede dispersão absoluta na mesma unidade dos dados, o menor s indica menor variação absoluta.
  • Portanto o menor é s_A=40 bária, ou seja, o tipo A tem a menor variação absoluta.

Passo 4

Entender o que é “variação relativa” e qual medida usar.
  • Variação relativa é quando queremos comparar dispersões levando em conta a escala (ou média) dos dados. Por exemplo, um desvio-padrão de 40 bária é mais significativo se a média for 100 do que se a média for 1000.
  • A medida padrão para variação relativa é o coeficiente de variação (CV), definido como:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}.
Aqui s é o desvio-padrão e \bar{x} é a média. O CV é adimensional (ou expresso em %) e permite comparar dispersões entre conjuntos com médias diferentes.

Passo 5

Calcular o coeficiente de variação para cada tipo (mostrando as contas passo a passo).
  • Para A:
\text{CV}_A=\frac{s_A}{\bar{x}_A}=\frac{40}{150}=0{,}26666\ldots
Transformando em percentagem:
\text{CV}_A \approx 0{,}26666\ldots\times100\%=26{,}67\%.
  • Para B:
\text{CV}_B=\frac{s_B}{\bar{x}_B}=\frac{50}{200}=0{,}25
\text{CV}_B=0{,}25\times100\%=25{,}00\%.
  • Para C:
\text{CV}_C=\frac{s_C}{\bar{x}_C}=\frac{60}{300}=0{,}20
\text{CV}_C=0{,}20\times100\%=20{,}00\%.

Passo 6

Comparar os valores de CV obtidos:
  • \text{CV}_A\approx26{,}67\%, \text{CV}_B=25{,}00\%, \text{CV}_C=20{,}00\%.
  • O maior coeficiente de variação é o de A, logo o tipo A apresenta a maior variação relativa.
  • Interpretação breve: apesar de A ter a menor variação absoluta ( s menor), sua média também é menor; em termos relativos (desvio em relação à média) A é o mais disperso.

Resposta

(a) Tipo A — menor variação absoluta (desvio-padrão 40 bária).
(b) Tipo A — maior variação relativa (coeficiente de variação \approx 26{,}67\%).

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