Considere os seguintes dados de temperatura ( em { }^{\circ} \mathrm{C} ) de 12 dias consecutivos: 23,24,25, 23,26,24,25,23,26,25,24,26. Calcule a média, desvio padrão e erro padrão da média.

Passo 1

Temos os dados de temperatura (em graus Celsius) de 12 dias consecutivos:
23,\;24,\;25,\;23,\;26,\;24,\;25,\;23,\;26,\;25,\;24,\;26.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a média das temperaturas.
  • Calcular o desvio padrão (vamos explicar qual definição usamos).
  • Calcular o erro padrão da média.

Passo 2

Decisão de método e fórmulas (explicando cada símbolo):
Vou usar o desvio padrão amostral (aquela com divisor n-1), porque normalmente, quando a amostra é usada para estimar a variabilidade da população e quando queremos o erro padrão da média, usa-se o desvio amostral s. Se fosse declarado que esses 12 dias são toda a população de interesse, poderíamos usar o desvio populacional (divisor n), mas aqui adotamos a convenção amostral — e eu explico por que: o erro padrão da média é calculado a partir de s (o estimador amostral da variância), então faz sentido usar n-1.
Fórmulas que vamos usar:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde \bar{x} é a média e n é o número de observações (aqui n=12).
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}
onde s^{2} é a variância amostral e s é o desvio padrão amostral s=\sqrt{s^{2}}.
\text{erro padrão da média (SE)}=\frac{s}{\sqrt{n}}.ãé
Aqui, \sqrt{n} é a raiz quadrada do número de observações.

Passo 3

Calculando a média passo a passo. Primeiro somamos todos os valores e dividimos por n=12.
\sum_{i=1}^{12} x_i = 23+24+25+23+26+24+25+23+26+25+24+26.
Observação útil (para facilitar a conta): cada um dos valores 23,24,25,26 aparece 3 vezes, então
\sum_{i=1}^{12} x_i = 3\cdot(23+24+25+26)=3\cdot 98=294.
Agora a média:
\bar{x}=\frac{294}{12}=24{,}5.

Passo 4

Calcular as diferenças em relação à média e os quadrados dessas diferenças (muito didático fazer por valor distinto e multiplicar pela frequência):
Para x=23: 23-\bar{x}=23-24{,}5=-1{,}5 e (-1{,}5)^{2}=2{,}25. Como 23 aparece 3 vezes, contribuição total 3\cdot 2{,}25=6{,}75.
Para x=24: 24-\bar{x}=24-24{,}5=-0{,}5 e (-0{,}5)^{2}=0{,}25. Frequência 3 → contribuição 3\cdot 0{,}25=0{,}75.
Para x=25: 25-\bar{x}=0{,}5 e (0{,}5)^{2}=0{,}25. Frequência 3 → contribuição 0{,}75.
Para x=26: 26-\bar{x}=1{,}5 e (1{,}5)^{2}=2{,}25. Frequência 3 → contribuição 6{,}75.
Somando todas as contribuições:
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^{2}=6{,}75+0{,}75+0{,}75+6{,}75=15.

Passo 5

Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{15}{12-1}=\frac{15}{11}=1{,}363636\ldots
e o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{15}{11}} \approx 1{,}168.
(Deixei também a forma exata \sqrt{15/11} para quem quiser precisão simbólica.)

Passo 6

Calcular o erro padrão da média (SE). Aplicando a fórmula:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{15/11}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{15}{11\cdot 12}}=\sqrt{\frac{5}{44}}\approx 0{,}337.
Interpretação rápida e motivadora: o erro padrão 0{,}337^\circ\mathrm{C} mede a incerteza da estimativa da média a partir dessa amostra de 12 dias — quanto menor, mais precisa é a média como estimativa da média “real”.

Passo 7

Resumo numérico (os cálculos detalhados já mostraram de onde vieram os números). Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, seguir passo a passo assim funciona bem na prova: calcule a média, compute as diferenças, some os quadrados, divida por n-1 para a variância amostral, tire raiz para o desvio e divida por \sqrt{n} para o erro padrão.

Resposta

\bar{x}=24{,}5
s=\sqrt{\dfrac{15}{11}}\approx 1{,}168
\text{SE}=\sqrt{\dfrac{5}{44}}\approx 0{,}337

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