Considere os seguintes dados de temperatura ( em
) de 12 dias consecutivos:
,
. Calcule a média, desvio padrão e erro padrão da média.
Passo 1
Temos os dados de temperatura (em graus Celsius) de 12 dias consecutivos:
O que o enunciado pede:
- Calcular a média das temperaturas.
- Calcular o desvio padrão (vamos explicar qual definição usamos).
- Calcular o erro padrão da média.
Passo 2
Decisão de método e fórmulas (explicando cada símbolo):
Vou usar o desvio padrão amostral (aquela com divisor ), porque normalmente, quando a amostra é usada para estimar a variabilidade da população e quando queremos o erro padrão da média, usa-se o desvio amostral
. Se fosse declarado que esses 12 dias são toda a população de interesse, poderíamos usar o desvio populacional (divisor
), mas aqui adotamos a convenção amostral — e eu explico por que: o erro padrão da média é calculado a partir de
(o estimador amostral da variância), então faz sentido usar
.
Fórmulas que vamos usar:
Vou usar o desvio padrão amostral (aquela com divisor
Fórmulas que vamos usar:
onde
é a média e
é o número de observações (aqui
).
onde
é a variância amostral e
é o desvio padrão amostral
.
Aqui,
é a raiz quadrada do número de observações.
Passo 3
Calculando a média passo a passo. Primeiro somamos todos os valores e dividimos por
.
Observação útil (para facilitar a conta): cada um dos valores
aparece 3 vezes, então
Agora a média:
Passo 4
Calcular as diferenças em relação à média e os quadrados dessas diferenças (muito didático fazer por valor distinto e multiplicar pela frequência):
Para :
e
. Como
aparece 3 vezes, contribuição total
.
Para :
e
. Frequência 3 → contribuição
.
Para :
e
. Frequência 3 → contribuição
.
Para :
e
. Frequência 3 → contribuição
.
Somando todas as contribuições:
Para
Para
Para
Para
Somando todas as contribuições:
Passo 5
Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral:
e o desvio padrão amostral é
(Deixei também a forma exata
para quem quiser precisão simbólica.)
Passo 6
Calcular o erro padrão da média (SE). Aplicando a fórmula:
Interpretação rápida e motivadora: o erro padrão
mede a incerteza da estimativa da média a partir dessa amostra de 12 dias — quanto menor, mais precisa é a média como estimativa da média “real”.
Passo 7
Resumo numérico (os cálculos detalhados já mostraram de onde vieram os números). Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, seguir passo a passo assim funciona bem na prova: calcule a média, compute as diferenças, some os quadrados, divida por
para a variância amostral, tire raiz para o desvio e divida por
para o erro padrão.