Dada a seguinte lista de idades de 15 estudantes: 18,22,19,21,20,23,25,24,26,22,20, 21, 19, 20, 23. Calcule os quartis das idades dos estudantes.

Passo 1

O enunciado dá uma lista com as idades de 15 estudantes e pede para calcular os quartis dessas idades.
Lista fornecida: 18,22,19,21,20,23,25,24,26,22,20,21,19,20,23.
Informações relevantes que temos (sem ainda resolver):
  • Temos 15 observações (ou seja, n=15).
  • Precisamos encontrar o primeiro quartil Q_1, o segundo quartil Q_2 (mediana) e o terceiro quartil Q_3.

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente (sempre que formos calcular quartis, trabalhamos com os dados ordenados). Vou ordenar a lista dada. Ordenando, obtemos:
18,19,19,20,20,20,21,21,22,22,23,23,24,25,26
Contando, temos novamente 15 valores (posição 1 até 15).

Passo 3

Explicação didática do que são quartis e como calculá-los (método escolhido):
  • Quartis são valores que dividem a distribuição em quatro partes iguais.
  • Q_2 é a mediana: o valor que deixa metade dos dados abaixo e metade acima.
  • Q_1 é a mediana da metade inferior dos dados.
  • Q_3 é a mediana da metade superior dos dados.
    Observação sobre método: existem várias convenções para calcular quartis (algumas interpõem valores entre observações quando necessário). Vou usar o método básico e muito usado em provas: ordenar os dados, achar a mediana Q_2 e depois calcular Q_1 como a mediana dos dados abaixo da mediana e Q_3 como a mediana dos dados acima da mediana. Para amostras com n ímpar, a mediana é a observação na posição (n+1)/2; as metades inferior e superior excluem essa mediana.

Passo 4

Calcular a mediana Q_2:
  • Temos n=15, então a posição da mediana é (n+1)/2.
\text{posição da mediana} = \frac{15+1}{2} = \frac{16}{2} = 8.çã
  • Então Q_2 é o 8-º valor da lista ordenada. Olhando a lista ordenada:
\text{lista ordenada} = 18,19,19,20,20,20,21,21,22,22,23,23,24,25,26
O 8-º valor é 21. Logo,
Q_2 = 21.

Passo 5

Calcular Q_1:
  • Para n ímpar, excluímos a mediana e consideramos a metade inferior formada pelas observações das posições 1 a 7. Essas são:
18,19,19,20,20,20,21
  • 7 valores na metade inferior; a mediana dessa metade (isto é, Q_1) é a observação na posição (7+1)/2 = 4 dentro dessa metade, ou equivalentemente a posição 4 da lista ordenada total. O 4-º valor da lista ordenada é 20. Portanto
Q_1 = 20.

Passo 6

Calcular Q_3:
  • Analogamente, a metade superior (excluindo a mediana) são as posições 9 a 15:
22,22,23,23,24,25,26
  • 7 valores nessa metade; a mediana dessa metade (isto é, Q_3) é a observação na posição 4 dentro da metade superior, que corresponde à posição 12 da lista total. O valor é 23. Assim,
Q_3 = 23.

Passo 7

Verificação alternativa (índices usados em muitas provas): quando n é ímpar, as posições dos quartis podem ser obtidas por
\text{pos}(Q_1)=\frac{n+1}{4},\quad \text{pos}(Q_2)=\frac{n+1}{2},\quad \text{pos}(Q_3)=\frac{3(n+1)}{4}.
Substituindo n=15:
\text{pos}(Q_1)=\frac{16}{4}=4,\quad \text{pos}(Q_2)=8,\quad \text{pos}(Q_3)=\frac{48}{4}=12,
o que confirma Q_1 como 4-º valor ( 20), Q_2 como 8-º ( 21) e Q_3 como 12-º ( 23).

Resposta

Q_1 = 20
Q_2 = 21
Q_3 = 23

Exercícios relacionados