Dada a seguinte lista de idades de 15 estudantes:
, 21, 19, 20, 23. Calcule os quartis das idades dos estudantes.
Passo 1
O enunciado dá uma lista com as idades de
estudantes e pede para calcular os quartis dessas idades.
Lista fornecida: .
Informações relevantes que temos (sem ainda resolver):
Lista fornecida:
Informações relevantes que temos (sem ainda resolver):
- Temos
observações (ou seja, ). - Precisamos encontrar o primeiro quartil
, o segundo quartil (mediana) e o terceiro quartil .
Passo 2
Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente (sempre que formos calcular quartis, trabalhamos com os dados ordenados). Vou ordenar a lista dada. Ordenando, obtemos:
Contando, temos novamente
valores (posição
até
).
Passo 3
Explicação didática do que são quartis e como calculá-los (método escolhido):
- Quartis são valores que dividem a distribuição em quatro partes iguais.
-
é a mediana: o valor que deixa metade dos dados abaixo e metade acima. -
é a mediana da metade inferior dos dados. -
é a mediana da metade superior dos dados.
Observação sobre método: existem várias convenções para calcular quartis (algumas interpõem valores entre observações quando necessário). Vou usar o método básico e muito usado em provas: ordenar os dados, achar a medianae depois calcular como a mediana dos dados abaixo da mediana e como a mediana dos dados acima da mediana. Para amostras com ímpar, a mediana é a observação na posição ; as metades inferior e superior excluem essa mediana.
Passo 4
Calcular a mediana
:
- Temos
, então a posição da mediana é .
- Então
é o -º valor da lista ordenada. Olhando a lista ordenada:
O
-º valor é
. Logo,
Passo 5
Calcular
:
- Para
ímpar, excluímos a mediana e consideramos a metade inferior formada pelas observações das posições a . Essas são:
- Há
valores na metade inferior; a mediana dessa metade (isto é, ) é a observação na posição dentro dessa metade, ou equivalentemente a posição da lista ordenada total. O -º valor da lista ordenada é . Portanto
Passo 6
Calcular
:
- Analogamente, a metade superior (excluindo a mediana) são as posições
a :
- Há
valores nessa metade; a mediana dessa metade (isto é, ) é a observação na posição dentro da metade superior, que corresponde à posição da lista total. O valor é . Assim,
Passo 7
Verificação alternativa (índices usados em muitas provas): quando
é ímpar, as posições dos quartis podem ser obtidas por
Substituindo
:
o que confirma
como
-º valor (
),
como
-º (
) e
como
-º (
).