Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão
LT(q)=FT(q)-CT(q)
Considerando-se as funções
FT(q)=5q
e
CT(q)=2q+12
como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?

Passo 1

O enunciado fornece as funções de faturamento FT(q)=5q e de custo total CT(q)=2q+12. O conteúdo é lucro total, definido por LT(q)=FT(q)-CT(q). Vamos usar álgebra básica de funções para encontrar a quantidade mínima q que garante lucro não negativo.

Passo 2

Calcular a função lucro substituindo FT(q) e CT(q) em LT(q). Assim, temos:
LT(q) = 5q - (2q + 12)
Explicação: a função lucro é a diferença entre receita e custo.

Passo 3

Simplificar a expressão do lucro:
LT(q) = 5q - 2q - 12 = 3q - 12
Explicação: subtraímos termos semelhantes para obter forma simplificada.

Passo 4

Para não ter prejuízo, precisamos de LT(q) >= 0. Logo, resolvemos a inequação:
3q - 12 >= 0
3q >= 12
q >= 4
Explicação: isolamos q passando 12 para o outro lado e dividindo por 3.

Passo 5

Como q representa quantidade de produtos, deve ser inteiro. A menor quantidade que satisfaz q >= 4 é q = 4.

Resposta

4

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