Suponha que f(0)=-3, f^prime(x) <= 5 para todos os valores de x. Qual o valor máximo que f(2) pode assumir?
Escolha uma opção:
a. 0
b. 3
c. 5
d. 7
e. 2

Passo 1

O enunciado dá que f(0)=-3 e que a derivada satisfaz f'(x)<=5 para todo x. O que se pede é o valor máximo que f(2) pode assumir, usando essa condição sobre a taxa de variação de f.

Passo 2

Pela desigualdade em f', sabemos que a função não pode crescer mais rápido que uma reta de coeficiente angular 5. Em particular, usando o teorema de valor médio ou o fato de que para a vale f(b)-f(a)<= M(b-a) se f'(x)<= M, temos
Aplicando com a=0, b=2 e M=5:
f(2)-f(0)<=5,(2-0)=10

Passo 3

Como f(0)=-3, segue
f(2)<=-3+10=7

Passo 4

Logo, o valor máximo possível para f(2) é 7, que corresponde à opção d.

Resposta

7

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