Seja f(x, y)=5 x^8 y^3-7 x^4 y+12 x^5 Calcule:
partial fpartial x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = 5x{8}y{3} - 7x^{4}y + 12x^{5} $ e precisa calcular a derivada parcial dessa função em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos lembrar que ao derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro termo da função: $ 5x{8}y{3} $. Como estamos derivando em relação a $ x $, o $ y^{3} $ é tratado como uma constante. A regra que usamos aqui é a da derivada de uma potência: se você tem $ x^n $, a derivada é $ n \cdot x^{n-1} $.

Passo 3

Aplicando essa regra no primeiro termo:
partialpartial x(5x^8y^3) = 5y^3 cdot 8x^7 = 40x^7y^3
Multiplicamos 5 por 8 e diminuímos o expoente de $ x $ em 1.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: $ -7x^{4}y $. Novamente, $ y $ é uma constante. Usamos a mesma regra da potência:
-7x^4y
Multiplicamos -7 por 4 e diminuímos o expoente de $ x $ em 1.

Passo 5

Por fim, olhamos para o terceiro termo: $ 12x^{5} $. Aqui, não tem $ y $, então é só uma potência pura de $ x $:
12x^5
Multiplicamos 12 por 5 e diminuímos o expoente de $ x $ em 1.

Resposta

Somando todas as derivadas parciais que calculamos:
partial fpartial x = 40x^7y^3 - 28x^3y + 60x^4

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