Em uma indústria de laticínios uma máquina é utilizada para encher pacotes de leite que, de acordo com o padrão de qualidade exigido, devem ter em torno de 1000 mL . Desconfiado de que a máquina esteja desregulada, o gerente responsável pelo setor de produção realizou um estudo no qual observou o volume de 12 pacotes preenchidos por esta máquina. Os dados observados são apresentados na tabela a seguir.
986,13 | 998,43 | 996,72 | 1001,18 |
---|---|---|---|
1008,25 | 986,07 | 994,93 | 1012,86 |
1012,94 | 1004,77 | 1007,75 | 1001,63 |
Suponha que o volume de preenchimento seja uma variável aleatória com distribuição Gama de parâmetros
e
. Obtenha a estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro
assumindo
. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de tamanho
de volumes
que seguem uma distribuição Gama de parâmetro de forma fixo
e parâmetro de escala
desconhecido. Queremos a estimativa de máxima verossimilhança (MLE) para
.
Passo 2
A função densidade da Gama é
logo a log-verossimilhança (desprezando termos constantes em
) é
Derivando em relação a
e igualando a zero:
Passo 3
Da equação acima resulta
Substituindo
e
.
Passo 4
Calculando a soma dos dados:
Então
Arredondando para quatro casas decimais: