Em uma indústria de laticínios uma máquina é utilizada para encher pacotes de leite que, de acordo com o padrão de qualidade exigido, devem ter em torno de 1000 mL . Desconfiado de que a máquina esteja desregulada, o gerente responsável pelo setor de produção realizou um estudo no qual observou o volume de 12 pacotes preenchidos por esta máquina. Os dados observados são apresentados na tabela a seguir.
986,13 998,43 996,72 1001,18
1008,25 986,07 994,93 1012,86
1012,94 1004,77 1007,75 1001,63
Suponha que o volume de preenchimento seja uma variável aleatória com distribuição Gama de parâmetros \kappa e \theta. Obtenha a estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro \theta assumindo \kappa=2. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=12 de volumes x_1,\dots,x_{12} que seguem uma distribuição Gama de parâmetro de forma fixo \kappa=2 e parâmetro de escala \theta desconhecido. Queremos a estimativa de máxima verossimilhança (MLE) para \theta.

Passo 2

A função densidade da Gama é
f(x;\kappa,\theta) =\frac{x^{\kappa-1}e^{-x/\theta}}{\Gamma(\kappa)\,\theta^\kappa},
logo a log-verossimilhança (desprezando termos constantes em \theta) é
\ell(\theta) =-n\,\kappa\ln\theta-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i.
Derivando em relação a \theta e igualando a zero:
\frac{d\ell}{d\theta} =-\frac{n\kappa}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^n x_i =0.

Passo 3

Da equação acima resulta
\sum_{i=1}^n x_i = n\,\kappa\,\hat\theta \quad\Longrightarrow\quad \hat\theta =\frac{1}{n\,\kappa}\sum_{i=1}^n x_i.
Substituindo n=12 e \kappa=2.

Passo 4

Calculando a soma dos dados:
\sum_{i=1}^{12}x_i =986{,}13+998{,}43+\cdots+1001{,}63 =12011{,}66.
Então
\hat\theta =\frac{12011{,}66}{12\cdot2} =500{,}485833\ldots
Arredondando para quatro casas decimais:

Resposta

\displaystyle \hat\theta = 500{,}4858

Exercícios relacionados