Em uma pesquisa de opinião, perguntou-se aos sujeitos se eles acreditam que há evidências sólidas de que a Terra está se tornando mais quente. Entre os 1501 respondentes, 360 responderam que não há tal evidência.
Use o nível de significância de 0.09 para testar a afirmativa de que menos de 25 \% da população acreditam que não há evidência sólida de que a Terra esteja se tornando mais quente.
OBS: Os números entre parênteses no início das questões referem-se ao número de casas decimais da resposta e a tolerância considerada.
a. Qual é a distribuição da estatística de teste (indique a letra: Z (normal padrão), T (t de Student), F (F de Snedecor), x (qui-quadrado))? \square
b. Qual é o tipo de teste ( U= unilateral, B= bilateral)? \square
c. ( 3,5 \% ) Qual é o valor crítico, na escala da estatística de teste? (Se o teste for bilateral, responda apenas com o valor positivo). \square
d. (3,5 \%) Qual é o valor da estatística de teste? \square
e. Qual é o intervalo no qual se encontra o p-valor (
1=[0,0.01], 2=(0.01,0.025], 3=(0.025,0.05], 4=(0.05,0.10], 5=(0.10,1]) ?
\square
f. Pode-se rejeitar a hipótese nula ao nível de 9 \% de significância ( \mathrm{S}=\operatorname{sim}, \mathrm{N}= não)? \square

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de tamanho n=1501 em que 360 indivíduos responderam que “não há evidência sólida” de aquecimento. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,09, a hipótese nula
H_0:\;p=0,25
contra a hipótese alternativa
H_1:\;p<0,25.
O conteúdo aqui é o teste de hipótese para proporção populacional com n grande, usando a aproximação pela distribuição normal padrão.

Passo 2

Para amostras grandes, a estatística de teste
Z=\frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}
é bem aproximada por uma normal padrão. Portanto a distribuição da estatística de teste é Z (normal padrão).

Passo 3

Como a hipótese alternativa é p<0,25, o teste é unilateral (à esquerda). Logo o tipo de teste é U.

Passo 4

O valor crítico na escala de Z satisfaz
P(Z<z_c)=\alpha=0,09.
Assim
z_c=\Phi^{-1}(0,09)\approx -1,34.

Passo 5

Primeiro calculamos a proporção amostral
\hat{p}=\frac{360}{1501}\approx 0,23984.
O desvio-padrão sob H_0 é
\sqrt{\frac{0,25 \cdot 0,75}{1501}} \approx 0,01118.
Logo a estatística de teste vale
Z=\frac{0,23984 - 0,25}{0,01118} \approx -0,91.

Passo 6

O p-valor é
P(Z\le -0,91)\approx0,181.
Esse valor está no intervalo (0{,}10,1], que corresponde ao rótulo 5.

Passo 7

Como o p-valor ( \approx0,181) é maior que \alpha=0,09 e Z=-0,91 não cai na região crítica Z<-1,34, não rejeitamos H_0.

Resposta

a. Z
b. U
c. -1,34
d. -0,91
e. 5
f. N

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