Deseja-se estimar a proporção de indivíduos de uma população favoráveis a certo projeto de lei com uma margem de erro de no máximo 0.05 .
Qual o tamanho amostral mínimo necessário para satisfazer essa exigência, com uma confiança de 88 \% ?
utilizando a informação adicional de que a proporção deve ser no máximo igual a 0.27 ? \square

Passo 1

O enunciado pede o tamanho mínimo de amostra n para estimar uma proporção com margem de erro de 0,05 e nível de confiança de 88\%, sabendo que a proporção verdadeira é, no máximo, 0,27. Vamos usar a fórmula da margem de erro para proporções e o quantil da normal padrão.

Passo 2

Para um nível de confiança 1-\alpha=0,88 temos \alpha=0,12 e, portanto, \alpha/2=0,06. O quantil correspondente é
z_{1-\alpha/2}=z_{0,94}\,.

Passo 3

Consultando a tabela da normal padrão ou usando calculadora, encontra-se
z_{0,94}\approx1,5548
pois \Phi(1,5548)\approx0,94.

Passo 4

A margem de erro E na estimação de proporção é dada por
E = z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Queremos E \le 0,05. Isolando n na desigualdade fica
n \ge \frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\;p(1-p)}{E^{2}}.

Passo 5

Substituindo z_{1-\alpha/2}\approx1,5548, p=0,27 e E=0,05:
n \ge \frac{(1,5548)^{2}\times0,27\times0,73}{(0,05)^{2}} = \frac{2,4174\times0,1971}{0,0025} \approx \frac{0,4767}{0,0025} \approx190,68.

Passo 6

Como n deve ser inteiro e garantir a margem de erro, arredondamos para cima:
n = 191.

Resposta

O tamanho amostral mínimo necessário é 191.

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