Uma indústria levantou os custos (em R$mil) de produção em 16 meses consecutivos. Após calcular \mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{2}e \mathrm{Q}_{3}, concluiu-se que:
  • \mathrm{Q}_{1}=120,
  • \mathrm{Q}_{2}=150,
  • \mathrm{Q}_{3}=180.
    a) Explique o que significa dizer que \mathrm{Q}_{1}=120 e \mathrm{Q}_{3}=180.
    b) Calcule a amplitude interquartílica \left(A_{I Q}=Q_{3}-Q_{1}\right) e interprete.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Foram medidos os custos (em R$ mil) em 16 meses consecutivos.
  • \mathrm{Q}_{1}=120.
  • \mathrm{Q}_{2}=150.
  • \mathrm{Q}_{3}=180.
O enunciado pede:
a) Explicar o que significa dizer que \mathrm{Q}_{1}=120 e \mathrm{Q}_{3}=180.
b) Calcular a amplitude interquartílica \left(A_{IQ}=Q_{3}-Q_{1}\right) e interpretar o resultado.

Passo 2

O que são quartis? (aula curta e bem prática)
  • Ordena-se os dados do menor para o maior (aqui são 16 observações).
  • O primeiro quartil, \mathrm{Q}_1, é o valor que deixa 25\% dos dados iguais ou abaixo dele e 75\% iguais ou acima. Em palavras: é o valor abaixo do qual está o primeiro quarto (25%) dos dados.
  • O segundo quartil, \mathrm{Q}_2, é a mediana: deixa 50\% dos dados abaixo e 50\% acima.
  • O terceiro quartil, \mathrm{Q}_3, é o valor que deixa 75\% dos dados iguais ou abaixo dele e 25\% iguais ou acima. Em palavras: é o valor abaixo do qual está a maior parte (75%) dos dados.
    Exemplo simples para fixar: se tivesse 4 observações ordenadas \{10,20,30,40\}, então \mathrm{Q}_1 estaria perto de 15 (entre 10 e 20) e \mathrm{Q}_3 perto de 35 (entre 30 e 40). O ponto é: \mathrm{Q}_1 marca o limite do primeiro 25% dos dados; \mathrm{Q}_3 marca o limite do primeiro 75%.

Passo 3

Aplicando isso ao caso: significado de \mathrm{Q}_{1}=120.
  • Dizer que \mathrm{Q}_1=120 significa que, ao ordenar os 16 custos do menor para o maior, aproximadamente 25\% dos meses (isto é, cerca de 0,25\times16=4 meses) tiveram custo menor ou igual a R$ 120 mil.
  • Em outra forma de falar: pelo menos um quarto dos meses apresentou custos até R$ 120 mil, e os restantes 75\% apresentaram custos maiores ou iguais a esse valor.
    Observação amigável: por causa de amostras discretas e métodos de cálculo de quartis, pode haver pequenas diferenças na contagem exata (por exemplo, se vários meses têm exatamente mesmo valor), mas a interpretação em percentis permanece.

Passo 4

Aplicando ao caso: significado de \mathrm{Q}_{3}=180.
  • Dizer que \mathrm{Q}_3=180 significa que, ordenando os 16 custos, aproximadamente 75\% dos meses (isto é, cerca de 12 meses) tiveram custo menor ou igual a R$ 180 mil.
  • Em termos práticos: apenas cerca de 25\% dos meses apresentaram custos iguais ou superiores a R$ 180 mil.
    Resumo intuitivo: Q_1 corta fora o quarto inferior da amostra; Q_3 corta fora o quarto superior.

Passo 5

O que é a amplitude interquartílica e por que ela importa? (mini-aula)
  • A amplitude interquartílica, A_{IQ}, mede a dispersão da metade central dos dados — ou seja, o intervalo que contém os 50\% centrais das observações.
  • Fórmula: A_{IQ}=Q_{3}-Q_{1}.
  • Vantagem: é uma medida de dispersão robusta (não é muito afetada por valores extremos/outliers), ao contrário da variância ou do desvio padrão.

Passo 6

Cálculo explícito da amplitude interquartílica com os valores dados.
  • Substituindo: A_{IQ} = Q_{3}-Q_{1} = 180 - 120.
  • Fazendo a conta: A_{IQ} = 60.
  • Unidade: como os quartis estão em R$mil, temos A_{IQ}=60 (isto é, R$ 60 mil).

Passo 7

Interpretação do resultado e uso prático (como falar na prova).
  • Interpretação direta: a metade central (os 50\% médios) dos custos mensais está espalhada ao longo de R$ 60 mil. Ou seja, o intervalo entre o primeiro e o terceiro quartil tem largura R$ 60 mil.
  • Informação adicional útil para a prova (detecção de outliers): os “fences” (limites) para identificar possíveis outliers são \text{limite inferior}=Q_{1}-1{,}5\cdot A_{IQ}=120-1{,}5\cdot60=120-90=30,
\text{limite superior}=Q_{3}+1{,}5\cdot A_{IQ}=180+1{,}5\cdot60=180+90=270.
Assim, valores fora do intervalo R$ 30 mil a R$ 270 mil seriam considerados potenciais outliers segundo a regra de Tukey. (Use isso só se o enunciado pedir identificação de valores discrepantes.)
  • Frase de incentivo: na prova, se te derem apenas Q_1 e Q_3, já podes dizer rapidamente o espalhamento da metade central com A_{IQ} e calcular fences para outliers — é uma resposta rápida e segura.

Resposta

(a) \mathrm{Q}_{1}=120 significa que 25\% dos meses apresentaram custos menores ou iguais a R$ 120 mil; \mathrm{Q}_{3}=180 significa que 75\% dos meses apresentaram custos menores ou iguais a R$ 180 mil (ou seja, cerca de 25\% dos meses têm custos \geq R$ 180 mil).
(b) A_{IQ}=Q_{3}-Q_{1}=180-120=60 (R$ 60 mil).

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