QUESTÃO 03 : Calcule
se
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada
da função
Vou separar a função em três parcelas para diferenciar uma a uma:
onde
O objetivo é calcular
. Abaixo eu calculo cada derivada passo a passo, explicando as regras usadas.
Passo 2
Derivada de
— uso a regra do quociente. Se
e
, então
Calculemos
e
:
Substituindo:
Faço uma simplificação no numerador para escrever de forma mais compacta: primeiro escrevo tudo sobre o mesmo denominador
:
Portanto
Passo 3
Derivada de
— uso a regra da cadeia em camadas. Passos:
- derivada de
em relação a é ; - derivada de
é multiplicada por ; - derivada de
é vezes a derivada de , que é .
Aplicando em sequência: se
, então
E
O fator
cancela:
Logo
Observação prática: essa expressão só faz sentido quando
por causa da raiz, mas a derivada formal fica como acima (em domínio onde a função está definida).
Passo 4
Derivada de
— é produto (com sinal negativo). Escrevo
e uso a regra do produto:
se e
, então
se
Sabendo que
e
, temos
Como
tem sinal negativo:
Fatorando
:
Passo 5
Junto todas as parcelas para escrever
. Assim:
Essa é a forma final simplificada da derivada, agrupando cada contribuição.
Passo 6
Resumo das regras usadas (com explicação curta e clara):
- Regra do quociente: se
então . Aqui e . - Regra da cadeia: se
então . Aplicada várias vezes em : é , é , e é a camada interna. - Derivadas elementares usadas:
- Regra do produto:
, usada para .
Dica para a prova: identifique as “camadas” de composição (externa → interna) e aplique a cadeia de fora para dentro; escreva cada passo para evitar erros.