QUESTÃO 03 : Calcule
f^{\prime}(x) se f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}+3}+\operatorname{tg}(\sqrt{\operatorname{sen}(2 x-7)}) -5^{x} \operatorname{arcsen} x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada f'(x) da função
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}+3}+\operatorname{tg}\big(\sqrt{\operatorname{sen}(2x-7)}\big)-5^{x}\operatorname{arcsen}x.
Vou separar a função em três parcelas para diferenciar uma a uma:
f(x)=T_1(x)+T_2(x)+T_3(x),
onde
T_1(x)=\frac{\ln x}{x^{2}+3},\qquad T_2(x)=\tan\!\big(\sqrt{\sin(2x-7)}\big),\qquad T_3(x)=-5^{x}\arcsin x.
O objetivo é calcular f'(x)=T_1'(x)+T_2'(x)+T_3'(x). Abaixo eu calculo cada derivada passo a passo, explicando as regras usadas.

Passo 2

Derivada de T_1(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}+3} — uso a regra do quociente. Se u(x)=\ln x e v(x)=x^{2}+3, então
T_1'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Calculemos u'(x) e v'(x):
u'(x)=\frac{1}{x},\qquad v'(x)=2x.
Substituindo:
T_1'(x)=\frac{\dfrac{1}{x}\,(x^{2}+3)-(\ln x)\cdot(2x)}{(x^{2}+3)^{2}}.
Faço uma simplificação no numerador para escrever de forma mais compacta: primeiro escrevo tudo sobre o mesmo denominador x:
\dfrac{1}{x}(x^{2}+3)-2x\ln x=\frac{x^{2}+3-2x^{2}\ln x}{x}.
Portanto
T_1'(x)=\frac{x^{2}+3-2x^{2}\ln x}{x\,(x^{2}+3)^{2}}.

Passo 3

Derivada de T_2(x)=\tan\!\big(\sqrt{\sin(2x-7)}\big) — uso a regra da cadeia em camadas. Passos:
  1. derivada de \tan(u) em relação a u é \operatorname{sec}^{2}(u);
  2. derivada de \sqrt{w} = w^{1/2} é \dfrac{1}{2\sqrt{w}} multiplicada por w';
  3. derivada de \sin(2x-7) é \cos(2x-7) vezes a derivada de 2x-7, que é 2.
Aplicando em sequência: se u(x)=\sqrt{\sin(2x-7)}, então
T_2'(x)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
E
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin(2x-7)}}\cdot \big(\sin(2x-7)\big)' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(2x-7)}}\cdot \big(2\cos(2x-7)\big).
O fator 2 cancela:
u'(x)=\frac{\cos(2x-7)}{\sqrt{\sin(2x-7)}}.
Logo
T_2'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{\sin(2x-7)}\big)\cdot\frac{\cos(2x-7)}{\sqrt{\sin(2x-7)}}.
Observação prática: essa expressão só faz sentido quando \sin(2x-7)>0 por causa da raiz, mas a derivada formal fica como acima (em domínio onde a função está definida).

Passo 4

Derivada de T_3(x)=-5^{x}\arcsin x — é produto (com sinal negativo). Escrevo T_3(x)= -\big(5^{x}\cdot \arcsin x\big) e uso a regra do produto:
se a(x)=5^{x} e b(x)=\arcsin x, então
( a b )' = a' b + a b'.
Sabendo que (5^{x})' = 5^{x}\ln 5 e (\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, temos
\big(5^{x}\arcsin x\big)' = 5^{x}\ln 5\cdot \arcsin x + 5^{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Como T_3(x) tem sinal negativo:
T_3'(x)=-\left(5^{x}\ln 5\cdot \arcsin x + \frac{5^{x}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).
Fatorando 5^{x}:
T_3'(x)=-5^{x}\left(\ln 5\cdot \arcsin x + \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).

Passo 5

Junto todas as parcelas para escrever f'(x)=T_1'(x)+T_2'(x)+T_3'(x). Assim:
f'(x)=\frac{x^{2}+3-2x^{2}\ln x}{x\,(x^{2}+3)^{2}} +\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{\sin(2x-7)}\big)\cdot\frac{\cos(2x-7)}{\sqrt{\sin(2x-7)}} -5^{x}\!\left(\ln 5\cdot \arcsin x + \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).
Essa é a forma final simplificada da derivada, agrupando cada contribuição.

Passo 6

Resumo das regras usadas (com explicação curta e clara):
  • Regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aqui u=\ln x e v=x^{2}+3.
  • Regra da cadeia: se h(x)=F(G(x)) então h'(x)=F'(G(x))\cdot G'(x). Aplicada várias vezes em T_2: \tan(\cdot) é F, \sqrt{\cdot} é G, e \sin(2x-7) é a camada interna.
  • Derivadas elementares usadas: (\ln x)'=\frac{1}{x},\quad (\tan u)'=\operatorname{sec}^{2}u\cdot u',\quad (\sqrt{w})'=\frac{1}{2\sqrt{w}}\,w',\quad (\sin t)'=\cos t\cdot t',\quad (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad (a^{x})'=a^{x}\ln a.
  • Regra do produto: (uv)'=u'v+uv', usada para 5^{x}\cdot\arcsin x.
Dica para a prova: identifique as “camadas” de composição (externa → interna) e aplique a cadeia de fora para dentro; escreva cada passo para evitar erros.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{2}+3-2x^{2}\ln x}{x\,(x^{2}+3)^{2}} +\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{\sin(2x-7)}\big)\cdot\frac{\cos(2x-7)}{\sqrt{\sin(2x-7)}} -5^{x}\!\left(\ln 5\cdot \arcsin x + \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)

Exercícios relacionados