Sabendo que o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right]
é 11, use as propriedades dos determinantes para calcular os determinantes das seguintes matrizes:
B=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
com \det(A)=11, e pede \det(B) e \det\text{(C)}. Vamos usar as propriedades de determinantes:
– multiplicar uma linha (ou coluna) por escalar multiplica o determinante por esse escalar;
– matriz em bloco triangular tem determinante igual ao produto dos determinantes dos blocos diagonais.

Passo 2

Para obter
B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & 2\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
basta multiplicar a segunda linha de A por 2. Logo
\det(B) = 2\,\det(A) = 2 \times 11 = 22.

Passo 3

A matriz
C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
é em bloco triangular superior, com bloco 1\times1 igual a (1) e bloco 3\times3
M = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & 2\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix},
mas M é exatamente B. Assim
\det\text{(C)} = \det(1)\,\det(M) = 1 \times \det(B) = 22.

Resposta

\det(B)=22
\det\text{(C)}=22

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