Uma indústria, que possui duas unidades de produção, fabrica três tipos de produtos, P_{1}, P_{2}, e P_{3}, os quais são confeccionados com 5 tipos de matéria-prima, M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} e M_{5}. Em cada semana, a produção é descrita pela Tabela 1:
TABELA 1:
P_{1}
P_{2}
P_{3}
Unidade 1
500
300
250
Unidade 2
200
200
400
(ou seja, a Unidade 1 fabrica 300 unidades do item P2 semanalmente, por exemplo). Podemos resumir as informações da tabela acima usando a matriz 2 \times 3 abaixo:
A direção da empresa, a fim de atender a demanda, precisa saber a quantidade de cada uma das 5 matérias primas que devem ser alocadas semanalmente para as suas duas unidades. A resposta pode ser dada na forma de uma tabela, onde as linhas representem as unidades e as colunas correspondam aos materiais usados . Ou seja,
Assim, c_{i j} é quanto a i-ésima unidade deve ter em estoque do j-ésimo material a fim de executar a produção prevista. Determine a matriz Q.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a quantidade de cada matéria-prima que deve ser alocada semanalmente para cada uma das duas unidades de produção. As informações relevantes (retiradas da Tabela 1 e Tabela 2 do enunciado) são:
onde c_{ij} é a quantidade do j-ésimo material necessária para a i-ésima unidade por semana.
Passo 2
Como relacionar produção e consumo por produto? Se a unidade i produz p_{ij} unidades do produto j e cada unidade do produto j exige m_{jk} do material k, então a quantidade total do material k necessária para a unidade i é a soma sobre todos os produtos j de p_{ij}\,m_{jk}. Em fórmula:
c_{ik}=\sum_{j=1}^{3} p_{ij}\,m_{jk}.
Aqui i\in\{1,2\}, k\in\{1,\dots,5\} e j percorre os 3 produtos. Em linguagem de matrizes, isso é exatamente o produto matricial
Q = P\cdot M,
pois P é 2\times3 e M é 3\times5, o produto é bem definido e resulta numa matriz 2\times5.
Passo 3
Calculo de c_{11} (Unidade 1, material M_{1}):
c_{11}=500\cdot 50 + 300\cdot 40 + 250\cdot 45.
Computando termo a termo:
500\cdot 50 = 25000,
300\cdot 40 = 12000,
250\cdot 45 = 11250.
Somando:
c_{11}=25000+12000+11250=48250.
Passo 4
Calculo de c_{12} (Unidade 1, material M_{2}):
c_{12}=500\cdot 20 + 300\cdot 10 + 250\cdot 15.
Termos:
500\cdot 20 = 10000,
300\cdot 10 = 3000,
250\cdot 15 = 3750.
Somando:
c_{12}=10000+3000+3750=16750.
Passo 5
Calculo de c_{13}, c_{14} e c_{15} (Unidade 1, materiais M_{3},M_{4},M_{5}):