Uma indústria, que possui duas unidades de produção, fabrica três tipos de produtos, P_{1}, P_{2}, e P_{3}, os quais são confeccionados com 5 tipos de matéria-prima, M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} e M_{5}. Em cada semana, a produção é descrita pela Tabela 1:
TABELA 1:
P_{1} P_{2} P_{3}
Unidade 1 500 300 250
Unidade 2 200 200 400
(ou seja, a Unidade 1 fabrica 300 unidades do item P2 semanalmente, por exemplo). Podemos resumir as informações da tabela acima usando a matriz 2 \times 3 abaixo:
MATRIZ P:
P=\left[\begin{array}{lll} 500 & 300 & 250 \\\\ 200 & 200 & 400 \end{array}\right]
Para a fabricação destes produtos o material é usado de acordo com a seguinte tabela:
TABELA 2:
M_{1} M_{2} M_{3} M_{4} M_{5}
P_{1} 50 Kg 20 Kg 501 151 4 unidades
P_{2} 40 Kg 10 Kg 301 251 5 unidades
P_{3} 45 Kg 15 Kg 601 01 6 unidades
que resumidamente pode ser representada pela matriz 3 \times 5 :
MATRIZ M:
M=\left[\begin{array}{ccccc} 50 & 20 & 50 & 15 & 4 \\\\ 40 & 10 & 30 & 25 & 5 \\\\ 45 & 15 & 60 & 0 & 6 \end{array}\right]
A direção da empresa, a fim de atender a demanda, precisa saber a quantidade de cada uma das 5 matérias primas que devem ser alocadas semanalmente para as suas duas unidades. A resposta pode ser dada na forma de uma tabela, onde as linhas representem as unidades e as colunas correspondam aos materiais usados . Ou seja,
M_{1} M_{2} M_{3} M_{4} M_{5}
Unidade 1 c_{11} c_{12} c_{13} c_{14} c_{15}
Unidade 2 c_{21} c_{22} c_{23} c_{24} c_{25}
Resumindo em uma matriz Q, de ordem 2 \times 5 :
Q=\left[\begin{array}{lllll} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} \\\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} \end{array}\right]
Assim, c_{i j} é quanto a i-ésima unidade deve ter em estoque do j-ésimo material a fim de executar a produção prevista. Determine a matriz Q.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a quantidade de cada matéria-prima que deve ser alocada semanalmente para cada uma das duas unidades de produção. As informações relevantes (retiradas da Tabela 1 e Tabela 2 do enunciado) são:
A produção por semana (matriz 2\times3):
P=\left[\begin{array}{ccc} 500 & 300 & 250 \\\\ 200 & 200 & 400 \end{array}\right]
onde a linha 1 é a Unidade 1 e a linha 2 é a Unidade 2; as colunas são P_{1},P_{2},P_{3}.
O consumo de matéria-prima por unidade de produto (matriz 3\times5):
M=\left[\begin{array}{ccccc} 50 & 20 & 50 & 15 & 4 \\\\ 40 & 10 & 30 & 25 & 5 \\\\ 45 & 15 & 60 & 0 & 6 \end{array}\right]
onde as linhas correspondem a P_{1},P_{2},P_{3} e as colunas aos materiais M_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5}.
Queremos a matriz Q de ordem 2\times5
Q=\left[\begin{array}{ccccc} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} \\\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} \end{array}\right]
onde c_{ij} é a quantidade do j-ésimo material necessária para a i-ésima unidade por semana.

Passo 2

Como relacionar produção e consumo por produto? Se a unidade i produz p_{ij} unidades do produto j e cada unidade do produto j exige m_{jk} do material k, então a quantidade total do material k necessária para a unidade i é a soma sobre todos os produtos j de p_{ij}\,m_{jk}. Em fórmula:
c_{ik}=\sum_{j=1}^{3} p_{ij}\,m_{jk}.
Aqui i\in\{1,2\}, k\in\{1,\dots,5\} e j percorre os 3 produtos. Em linguagem de matrizes, isso é exatamente o produto matricial
Q = P\cdot M,
pois P é 2\times3 e M é 3\times5, o produto é bem definido e resulta numa matriz 2\times5.

Passo 3

Calculo de c_{11} (Unidade 1, material M_{1}):
c_{11}=500\cdot 50 + 300\cdot 40 + 250\cdot 45.
Computando termo a termo:
500\cdot 50 = 25000,
300\cdot 40 = 12000,
250\cdot 45 = 11250.
Somando:
c_{11}=25000+12000+11250=48250.

Passo 4

Calculo de c_{12} (Unidade 1, material M_{2}):
c_{12}=500\cdot 20 + 300\cdot 10 + 250\cdot 15.
Termos:
500\cdot 20 = 10000,
300\cdot 10 = 3000,
250\cdot 15 = 3750.
Somando:
c_{12}=10000+3000+3750=16750.

Passo 5

Calculo de c_{13}, c_{14} e c_{15} (Unidade 1, materiais M_{3},M_{4},M_{5}):
Para c_{13}:
c_{13}=500\cdot 50 + 300\cdot 30 + 250\cdot 60.
Termos:
500\cdot 50=25000,\quad 300\cdot 30=9000,\quad 250\cdot 60=15000.
Somando:
c_{13}=25000+9000+15000=49000.
Para c_{14}:
c_{14}=500\cdot 15 + 300\cdot 25 + 250\cdot 0.
Termos:
500\cdot 15=7500,\quad 300\cdot 25=7500,\quad 250\cdot 0=0.
Somando:
c_{14}=7500+7500+0=15000.
Para c_{15}:
c_{15}=500\cdot 4 + 300\cdot 5 + 250\cdot 6.
Termos:
500\cdot 4=2000,\quad 300\cdot 5=1500,\quad 250\cdot 6=1500.
Somando:
c_{15}=2000+1500+1500=5000.

Passo 6

Agora fazemos os cálculos para a Unidade 2 (segunda linha de P).
Calculo de c_{21} (Unidade 2, M_{1}):
c_{21}=200\cdot 50 + 200\cdot 40 + 400\cdot 45.
Termos:
200\cdot 50=10000,\quad 200\cdot 40=8000,\quad 400\cdot 45=18000.
Somando:
c_{21}=10000+8000+18000=36000.

Passo 7

Calculo de c_{22} (Unidade 2, M_{2}):
c_{22}=200\cdot 20 + 200\cdot 10 + 400\cdot 15.
Termos:
200\cdot 20=4000,\quad 200\cdot 10=2000,\quad 400\cdot 15=6000.
Somando:
c_{22}=4000+2000+6000=12000.

Passo 8

Calculo de c_{23}, c_{24} e c_{25} (Unidade 2, materiais M_{3},M_{4},M_{5}):
Para c_{23}:
c_{23}=200\cdot 50 + 200\cdot 30 + 400\cdot 60.
Termos:
200\cdot 50=10000,\quad 200\cdot 30=6000,\quad 400\cdot 60=24000.
Somando:
c_{23}=10000+6000+24000=40000.
Para c_{24}:
c_{24}=200\cdot 15 + 200\cdot 25 + 400\cdot 0.
Termos:
200\cdot 15=3000,\quad 200\cdot 25=5000,\quad 400\cdot 0=0.
Somando:
c_{24}=3000+5000+0=8000.
Para c_{25}:
c_{25}=200\cdot 4 + 200\cdot 5 + 400\cdot 6.
Termos:
200\cdot 4=800,\quad 200\cdot 5=1000,\quad 400\cdot 6=2400.
Somando:
c_{25}=800+1000+2400=4200.

Passo 9

Agora montamos a matriz Q com todos os c_{ij} calculados. A matriz Q (quantidade semanal de cada material por unidade) é:
Q=\left[\begin{array}{ccccc} 48250 & 16750 & 49000 & 15000 & 5000 \\\\ 36000 & 12000 & 40000 & 8000 & 4200 \end{array}\right]

Resposta

\left[\begin{array}{ccccc} 48250 & 16750 & 49000 & 15000 & 5000 \\\\ 36000 & 12000 & 40000 & 8000 & 4200 \end{array}\right]

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